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VPN接続が不安定なので原因を調べてください を英語で教えて!

1. The VPN connection is unstable. Can you take a look?
VPN接続が不安定なので原因を調べてください。

「VPN接続」は VPN connection です。「不安定」は unstable を使ってみました。
「～してください」は、依頼をあらわす表現として Can you~?としております。
「原因を調べる」は、take a look を使うことで表現可能です。

2. The VPN keeps dropping. Can you check what's going on?
VPN接続が不安定なので原因を調べてください。

「VPN接続が不安定」＝「VPN接続が時折落ちる（The VPN keeps dropping）」と具体的に表現してみました。
「原因を調べてください」は、「何が起きているか（what's going on）チェックしてくれないか」とし、ややカジュアルに聞こえますがとても自然で会話等でよく聞く使われる言い方を例として挙げております。

ご参考いただけますと幸いです。

あちらに行ってもいいですか？ を英語で教えて!

1. May I go that side?
あちらに行ってもいいですか？

例えば現在いる場所よりも、別の場所（that side）のほうがバードウォッチングができそうである場面を想定してみました。
go that side で「あちらに行く」という言い方になります。

ただその場所が、もしかしたら立ち入り禁止エリアかもしれないので、許可を取る表現として、May I ~? を使っています。

（例文）
May I go that side for bird watching?
バードウォッチングにあちらに行ってもいいですか？

2. Can I go the other side?
あちらに行ってもいいですか？

同じく許可を取る表現として、Can I ~? を使ってもよいと思います。
また the other side は「反対側」という意味になります。
例えば川などで公園が右側と左側に分断されている場合、「反対側に行ってもいい？」という表現のほうがより具体的でわかりやすいと思って例文を作成してみました。

（例文）
Can I go the other side for bird watching?
バードウォッチングにあちらに行ってもいいですか？

ご参考いただけますと幸いです。

データが消えたのでバックアップを探したいです を英語で教えて!

1. The data is gone, so I want to look for a backup.
データが消えたのでバックアップを探したい。

「～が消えた」は be gone を使って表現できます。日本語にすると「消えた」という過去形になっていますが、より厳密にいうと現在は「消えた状態にある」と言えますので、is gone として現在形で表現するのがよいと思います。
「バックアップ」は backup となります。
「データが消えた」と「バックアップを探したい」という二つの文章を接続詞 so を使って連結しています。

2. The data is missing, so I need to check if there's a backup.
データが消えたのでバックアップを探したい。

「～が消えた」は be missing を使っても表現できます。

ご参考いただけますと幸いです。

休みの日に仕事の夢を見た を英語で教えて!

1. I dreamed about work on my day off.
休みの日に仕事の夢を見た。

「仕事の夢を見る」は dream about work となります。dream は、目的語を取るときは about や of を置くことが一般的です。
「休みの日に」は on my day off となります。day off で「休み」という表現です。

2. Even on my day off, I ended up dreaming about work.
休みの日に仕事の夢を見た。

直訳すると「休みの日であるにも関わらず、仕事の夢を見る結果となった」となり、より残念な感じが出る言い方です。

end up ~ ing は、「～となる結果となった」という表現です。

（例文）
I ended up failing to quit smoking.
禁煙失敗する結果となった。

ご参考いただけますと幸いです。

この電源は使えますか？ を英語で教えて!

1. May I use this outlet?
この電源は使えますか？

一つ目は may I ~? を使って許可を取る言い方としてみました。電源があるけれども、顧客用なのかそうではないのかを確認するために「使ってもいいですか？」という聞き方になります。

outlet : 電源（名詞）

2. Is this power source working?
この電源は使えますか？

こちらは、電源は顧客用に提供されていますが、つなげてもうまく接続できなかったりした場合に「この電源は問題ないですか？動いていますか？」と聞く言い方となります。working を使って表現することが一般的です。

power source : 電源（名詞）

ご参考いただけますと幸いです。