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日増しに を英語で教えて！

例文
Since a newborn puppy is growing rapidly, I would like to say, "It's getting bigger day by day."
生まれた子犬の赤ちゃんがどんどん成長していくので、「日増しに大きくなってきている」と言いたいです。

「日増しに」は、他に、
"from day to day"や、"as day follows day"や、"daily"や、"every day"や、"by the day"
などで表現できます。

二重人格 を英語で教えて！

例文
When you have two different characters, you say, "You have a split personality."
二つの異なる性格を持つ時に「二重人格」と言います。

このsplitは「分裂した」の意味の形容詞で、a split personalityは特に悪い意味とは限りません。

「二重人格」は、他に、
"a double personality"や、"a dual personality"や、"a Jekyll-and-Hyde personality"
等があります。

二の舞 を英語で教えて！

例文
Since my older sister failed in the entrance exams, but I don't want to do so, I would like to say, "I should not repeat my sister's mistake."
姉が受験に失敗したが自分はそうなりたくなかったので、「姉の二の舞にならないようにしなくては」と言いたいです。

「二の舞になる」は「二の舞を踏む」「二の舞を演じる」を意味するので、
「二の舞を演じる」は、"make the same mistake as"や、"fall into the same trap as"
等があります。

二の足をふむ を英語で教えて！

例文
Since my husband, who is afraid of seeing a dentist, hesitates to receive dental treatment, I would like to say,"Don't have second thoughts."
歯医者が怖い夫が、診察をためらっているので「二の足を踏まないで」と言いたいです。

「二の足を踏む」は、「一歩目は進みながら、二歩目はためらって足踏みする。思い切れずに迷う。ためらう。しりごみをする」という意味です。

「二の足を踏む」は、他に、
"hang back"や、"think twice"や、"shilly-shally"や、"balk (at)"や、"get cold feet"
等があります。

難点 を英語で教えて！

例文
When it's difficult to solve, you say, "It's the crux."
解決することが難しい時に「難点」と言います。

「難点」は、他に、
（難しい点）、"a difficult point"や、"a knotty point"や、"a point of contention"や、
"a problem"や、"a drawback"
（欠点。弱点）"a defect"や、"a weak point"や、"a fault"
等があります。

いろいろ表現はありますが、回答の"the cruck"が、一番良いと思われます。