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熱い男 を英語で教えて！

例文
I would love to say to my colleagues at work, " What if our boss is a keen man like Mr.Shuzo Matsuoka?"
会社で、同僚に「上司が松岡修造のように熱い男だったらどうですか？」と言いたいです。

ここでの「熱い」は、「物事に打ち込んでいる。夢中である」の意。"keen"が適切です。
その他、”eager"や、"earnest"や、"zealous"や、"enthusiastic"や、"ardent"
などが使えます。

猫を被る を英語で教えて！

例文
Since when my younger sister goes to others' houses, she always becomes quiet, I would like to say, "She puts on right away."
妹は他人の家に行くといつもおとなしくなるので、「彼女はすぐ猫を被る」と言いたいです。

"just a put-on" は、名詞で、「気取り」「見せかけ」の意。英語の方が、意味が広いが日本語の「猫かぶり」の意味はほとんどカバー出来ます。

"It’s just a put-on"「あれは猫かぶりさ」のような言い方が普通で、
"She is just a put-on."のように人を主語にすると「彼女は単なる気取り屋だ」という意味になってしまいます。

「猫を被る」は、動詞で、"put on"で表せます。

猫に小判 を英語で教えて！

例文
When even precious things are not helpful to those who are unaware of their value, you say, "Those are like casting pearls before swine"
貴重なものでも価値が分からない人には役に立たない時に「猫に小判」と言います。

「猫に小判」は、「豚に真珠を投げてやるようなものだ」という英語の決まり文句です。
「猫に小判」は、"caviar to the general"という表現もあります。

濡れ衣を着せられる を英語で教えて！

例文
To be framed means to" be falsely accused".
無実の罪に陥れられることを「ぬれぎぬを着せられる」と言います。

「ぬれぎぬを着せられる」は、他にも、
"be unjustly accused"や、"be wrongly accused"や、
"be falsely carged"や、"be unjustly suspected of a guilt"
等があります。

「無実の罪で」は、他にも、
"on an unfound accusation"や、"on a false accusation"
等があります。

濡れ衣 を英語で教えて！

例文
I would love to say to my family at home," It's I that ate the snack, which is a false accusation"
自宅で、家族に「お菓子を食べたのが私だなんて、そんなの濡れ衣だ」と言いたいです。

”It's I that ate the snack" は、"I ate the snack" の強調構文です。

「濡れ衣」は、他にも、"a false charge"とも言えますが、法的な意味合いが強くなります。
「濡れ衣をきせる」は、"falsely accuse someone"と言えます。