Ken

彼は健康上の理由で会社を辞めました。 を英語で教えて!

「彼は健康上の理由で会社を辞めました。」は、上記のように表せます。

quit は「やめる」という意味を表す動詞ですが「やめて、もう再開しない」というニュアンスのある表現になります。
（過去形、過去分詞形も quit になります）
for health reasons で「健康上の理由で」「健康上の理由により」などの意味を表現できます。

例文
I don't know the details. He quit the company for health reasons.
詳しくは知りません。彼は健康上の理由で会社を辞めました。

※I don't know は「知らない」「わからない」などの意味を表す代表的な表現ですが、少し素っ気ないニュアンスのある表現なので、言い方や状況によっては「知ったことじゃない」というよう感じにもなります。
（I'm not sure は柔らかいニュアンスの「わからない」を表す表現です）

この場所は観光地として人気とよく言われる。 を英語で教えて!

「この場所は観光地として人気とよく言われる。 」は、上記のように表せます。

people say that 〜 は「人々が〜と言っている」という意味を表す表現ですが、（一般的に）「〜と言われている」という意味も表せます。
popular は「人気がある」という意味を表す形容詞ですが、「流行の」という意味でも使われます。
as 〜 は「〜として」「〜するとき」「〜だから」などの意味を表現できます。

例文
People often say that this place is popular as a tourist spot. It's always crowded.
この場所は観光地として人気とよく言われる。いつも混んでるよ。

会議中にどんなふうに発言するか気になっている。 を英語で教えて!

「会議中にどんなふうに発言するか気になっている。 」は、上記のように表せます。

care は「気にする」「心配する」などの意味を表す動詞で、似た意味を表す worry に比べて、建設的なニュアンスがあります。
how は「どうやって」「どのように」などの意味を表す疑問詞になります。
make a statement は「発言をする」「声明を出す」などの意味を表す表現です。
（固いニュアンスの表現になります）

例文
He is selfish, so I care about how he makes a statement during the meeting.
彼は勝手なので、彼が会議中にどんなふうに発言するか気になっている。

※ selfish は「勝手な」「自分勝手な」「自己中な」などの意味を表す形容詞になります。

失業率の上昇を引き起こしている。 を英語で教えて!

「失業率の上昇を引き起こしている。 」は、上記のように表せます。

cause は「原因」「理由」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「原因になる」「引き起こす」などの意味も表せます。
unemployment は「失業」や「失業率」などの意味を表す名詞になります。

例文
The bad economy is causing rising unemployment.
経済の悪化が失業率の上昇を引き起こしている。

※ bad economy は「経済の悪化」「不景気」などの意味を表す表現になります。
bad は「悪い」「下手な」などの意味を表す形容詞ですが、スラング的に「かっこいい」「イケてる」などの意味で使われることもあります。

電車を乗り過ごしてしまったらしい。 を英語で教えて!

「電車を乗り過ごしてしまったらしい。 」は、上記のように表せます。

it looks like 〜 は「〜らしい」「〜みたい」などの意味を表す表現ですが、こちらは「目で見た情報から出る感想」になるので、客観的なニュアンスのある表現です。
miss one's station で「電車を乗り過ごす」という意味を表せます。

例文
Oh my goodness, it looks like I've missed my station.
なんてことだ。電車を乗り過ごしてしまったらしい。

※oh my goodness は oh my god から派生した「なんてことだ」「信じられない」などの意味を表すフレーズになります。
英語圏には god（神）という言葉を軽々しく使いたくない方々も多いので、よく使われる表現になります。