Ken

あれが全てのきっかけだった を英語で教えて!

「あれが全てのきっかけだった。」は、上記のように表せます。

trigger は「引き金」「ばめ止め」などの意味を表す名詞ですが、比喩的に「きっかけ」「要因」などの意味でも使われます。
（動詞として「引き金を引く」「誘発する」などの意味も表せます）

例文
I got the cause. That was the trigger of it all. I wanna apologize to him.
原因がわかったよ。あれが全てのきっかけだった。彼に謝りたいよ。

※ cause は「原因」「理由」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「原因になる」「引き起こす」などの意味も表せます。

※want to（wanna は want to を略したスラング表現になります）は、直接的でカジュアルなニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現です。

お気に入りの服を着ると自信が出る を英語で教えて!

「お気に入りの服を着ると自信が出る。」は、上記のように表せます。

wear は「着る」「着ている」などの意味を表す動詞ですが、服に限らず、「（帽子を）かぶる」「（メガネを）かける」などの意味も表せます。
favorite は「好きな」「お気に入りの」などの意味を表す形容詞ですが、厳密には「一番好きな」「一番お気に入りの」などの意味を表す表現です。
make は「作る」「料理する」などの意味を表す動詞ですが、使役動詞として（強いニュアンスの）「〜させる」という意味も表現できます。

例文
In my case, wearing my favorite clothes makes me feel confident.
私の場合、お気に入りの服を着ると自信が出るよ。

※in one's case は「誰々の場合」という意味を表す表現になります。
case は「場合」という意味を表す名詞ですが、「事件」という意味も表せます。

健康的な食生活 を英語で教えて!

「健康的な食生活 」は、上記のように表せます。

healthy は「健康な」「健康的な」などの意味を表す形容詞ですが、身体的な意味に限らず、比喩的に「健全な」「有益な」などの意味で使われることもあります。
diet は「食事」「食生活」などの意味を表す名詞ですが、「制限された食事」「規定食」などの意味でも使われます。

例文
People say that a healthy diet leads to a longer life.
健康的な食生活が長寿につながると言われているよ。

※ people say that 〜 は「人々が〜と言っている」という意味を表す表現ですが、（一般的に）「〜と言われている」という意味でも使われます。

誰かが会議の時間を間違えてしまったらしい。 を英語で教えて!

「誰かが会議の時間を間違えてしまったらしい。 」は、上記のように表せます。

it sounds like 〜 は「〜らしい」「〜みたい」などの意味を表す表現ですが、こちらは「耳で聞いた情報から出る感想」になります。
meeting は「会議」「集まり」「会合」などの意味を表す名詞です。

例文
I don't know well, but it sounds like someone got the meeting time wrong.
よく知らないけど、誰かが会議の時間を間違えてしまったらしい。

※I don't know は「知らない」「わからない」などの意味を表す代表的な表現ですが、少し素っ気ないニュアンスもある表現なので、言い方や状況によっては「知ったことじゃない」というような感じにもなります。

自分でがんばってると言わない を英語で教えて!

「自分でがんばってると言わない。」は、上記のように表せます。

work hard は「一生懸命働く」という意味を表す表現ですが、比喩的に「頑張る」「努力する」などの意味でも使われます。
（hard は副詞として「一生懸命」という意味を表せます）
say は「言う」「述べる」「指示する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「言い分」「発言の機会」などの意味も表せます。

例文
People who work hard don't say that they work hard by saying it from themselves, right?
がんばってる人は、自分でがんばってると言わないでしょ。

※people は「人々」という意味を表す名詞ですが、「市民」「国民」などの意味でも使われます。