Ken

子供の宿題の手伝いに追われて を英語で教えて!

「子供の宿題の手伝いに追われて。」は、上記のように表せます。

be pressed by 〜 で「〜に追われて」「〜に圧迫されて」などの意味を表現できます。
kid は、カジュアルなニュアンスの「子供」という意味を表す名詞ですが、動詞として「ふざける」「冗談を言う」などの意味も表現できます。

例文
I'm pressed by helping my kids with their homework, so my business isn't progressing.
子供の宿題の手伝いに追われて、自分の仕事が進まない。

※ business は「仕事」「事業」「商売」などの意味を表す名詞ですが、「私事」「やるべきこと」などの意味でも使われます。
（biz と略されることもあります）

いよいよ来月から新生活が始まる を英語で教えて!

「いよいよ来月から新生活が始まる。」は、上記のように表せます。

finally は「ついに」「いよいよ」「ようやく」などの意味も表す副詞ですが、ポジティブなことに対して使われる傾向がある表現です。
gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
start は「始まる」「開始する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「始まり」「開始」などの意味も表現できます。

例文
Finally my new life is gonna start next month. I'm looking forward to it.
いよいよ来月から新生活が始まる。楽しみだな。

※look forward は「前を見る」という意味を表す表現ですが、「楽しみにする」「期待する」などの意味も表せます。

焦らないで進めていこう を英語で教えて!

「焦らないで進めていこう。」は、上記のように表せます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜しよう」「〜して」といったニュアンスでも使えます。
proceed は「進む」「進める」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「売上」「収益」などの意味も表現できます。

例文
There is no problem, so we should proceed without rushing.
大丈夫だから、焦らないで進めていこう。

※there is no 〜 とすると there is not 〜 とするより、「ない」ということを強調したニュアンスにできます。

工具を貸して を英語で教えて!

「工具を貸して。」は、上記のように表せます。

can I 〜 ? は、カジュアルなニュアンスの「〜してもいいですか？」「（私が）〜できますか？」などの意味を表す表現になります。
（could I 〜 ? とすると丁寧なニュアンスになります）
borrow は「借りる」という意味を表す動詞ですが、「無料で借りる」という意味の「借りる」を表す表現です。

例文
Excuse me, I'm gonna return them immediately, so can I borrow your tools?
すみません、すぐに返すので、工具を貸してもらえますか？

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

※ immediately は「すぐに」「即座に」などの意味を表す副詞ですが、急ぎのニュアンスが強めの表現です。

お茶を濁す を英語で教えて!

「お茶を濁す」は、上記のように表せます。

avoid は「避ける」「回避する」などの意味を表す動詞ですが、「無効にする」という意味で使われることもあります。
issue は「問題」「論点」などの意味を表す名詞ですが、「発行」「発行物」などの意味も表現できます。

例文
What the hell are you saying? It’s not the time to avoid the main issue.
何を言ってるんだ。お茶を濁す場面じゃないぞ。

※what the hell 〜 とすると、相手を非難するようなニュアンスを表現できます。

※ it’s not the time to 〜 で「〜する時間じゃない」「〜してる場合じゃない」などの意味を表せます。