Ken

急を要する事態が起きてしまいました を英語で教えて!

「急を要する事態が起きてしまいました。」は、上記のように表せます。

emergency は「緊急事態」「急を要する事態」などの意味を表す名詞になります。
occur は「起こる」「発生する」などの意味を表す動詞ですが、少し固いニュアンスのある表現になります。
have occurred（現在完了）で「起きたところ」「起きたばかり」というニュアンスを表現できます。

例文
An emergency has occurred. Could you reschedule?
急を要する事態が起きてしまいました。予定を組み直せますか？

※ reschedule は「予定を組み直す」「日程を変更する」などの意味を表す動詞になります。
よく「リスケする」と言いますが、こちらが語源です。

今日の予定をきちんと確認しておこう を英語で教えて!

「今日の予定をきちんと確認しておこう。」は、上記のように表せます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜しよう」「〜して」などのニュアンスでも使えます。
schedule は「予定」「スケジュール」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「予定を立てる」「スケジュールを組む」などの意味も表せます。
ちなみに schedule はアメリカ英語とイギリス英語でかなり発音が違います。アメリカ英語は比較的、カタカナ発音に近いのですが、イギリス英語の場合、「シェジュール」というような発音になります。
（この言葉に関してはイギリス英語圏の方もアメリカ英語発音をよく使います）

例文
It's gonna be a busy day. We should check today's schedule.
忙しい1日になりそうだ。今日の予定をきちんと確認しておこう。

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

試験勉強に追われて、睡眠不足が続いている を英語で教えて!

「試験勉強に追われて、睡眠不足が続いている。」は、上記のように表せます。

be pressed by 〜 は「〜に追われて」「〜に圧迫されて」などの意味を表す表現になります。
have been 〜 ing は（過去から今まで）「ずっと〜している」「〜し続けている」などの意味を表す表現になります。（have not been 〜 ing で否定形にできます）
get enough sleep は「十分な睡眠を取る」「よく寝る」などの意味を表す表現です。

例文
I’m pressed by studying for the exam and haven't been getting enough sleep. I can't concentrate.
試験勉強に追われて、睡眠不足が続いている。集中できないや。

何のために始めたのか を英語で教えて!

「何のために始めたのか。」は、上記のように表せます。

why は「なぜ」「どうして」などの意味を表す疑問詞ですが、名詞として「理由」という意味も表せます。
start は「始める」「開始する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「始まり」「開始」などの意味も表現できます。

例文
I got your points. We should reconsider why we started this project.
言いたいことはわかったよ。何のためにこのプロジェクトを始めたのか、もう一度確認しよう。

※point は「点」「得点」などの意味を表す名詞ですが、よく「言いたいこと」「主張」などの意味でも使われます。

この話はできすぎていて、現実味がない を英語で教えて!

「この話はできすぎていて、現実味がない。」は、上記のように表せます。

story は「お話」「物語」などの意味を表す名詞ですが、（普通の）「話」という意味も表せます。
It's too good to be true. は「できすぎている。」「話ができすぎていて、怪しい。」などの意味を表す表現になります。
unrealistic は「非現実的な」「実現できない」などの意味を表す形容詞です。

例文
To be honest, this story is too good to be true and unrealistic.
率直に言って、この話はできすぎていて、現実味がない。

※to be honest は「正直言って」「率直に言って」「ぶっちゃけ」などの意味を表す表現になります。