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混じり気 を英語で教えて!

「混じりけ」という意味であれば、mixed、impure といった単語が使えますが、質問の「混じり気のない水が抽出されました」を英語で表現する場合は、逆に crystal-clear や　pure 「混じり気のない」という表現の方が自然なので、以下紹介します。

例文

Since the salt water was distilled, the water became crystal-clear.
塩水を蒸留したので混じり気のない水が抽出されました。

例文

The water tasted pure once it was distilled.
蒸留されたので、混じり気のない水の味がしました。

根拠がない を英語で教えて!

unprovenは　文字通り、「証明されていない、根拠がない」という意味になります。

例文

"Did you hear about the new weight loss supplement" It sounds promising, but the claims are unproven."
「新しい痩せるサプリの話題きいた？」「どうせ根拠がない情報でしょう？」

biasは「偏見、先入観」という意味ですが、「根拠のないこと」をも指します。

例文

"Have you heard about the new weight loss pills?""The information must be a bias!"
「新しい痩せるピルの話題きいた？」「どうせ根拠がない情報でしょう！」

ground は、理由や根拠という意味でもあるのでno grounds で「根拠のない」と表現できます。

例文

There are no grounds for your accusations.
君の告発には根拠がありません。

懇切丁寧に を英語で教えて!

thoroughは「徹底的な、丁寧な、という意味で、以下のように表現できます。

例文

Thank you so much for being so thorough with my training.
懇切丁寧に教えていただきありがとうございます。

comprehensive training　は「総合的な、広範囲の研修」という意味から、懇切丁寧な内容の研修とも解釈できます。

例文

Thank you for providing me with comprehensive training.
懇切丁寧に教えていただきありがとうございます。

懇意にしていただいています を英語で教えて!

thank A for B ～「A (人)にBのことで感謝する」の表現が使えます。さらに、be kind to ～で、「懇意にする、親切に接する」となります。

例文

I thank your husband for being so kind to me.
ご主人様とは懇意にしていただいています。

thank をより丁寧に言いたいときは、 appreciate で表現するといいでしょう。

例文

I appreciate your husband for being so nice to me.
ご主人様とは懇意にしていただいています。

恨めしく思う を英語で教えて!

feel left out　は　直訳すると、「取り残された気持ちになる」で、そのニュアンスからも恨めしく思うときに使われる表現です。

例文

I couldn’t swim like my friends when I went to the beach last time. I had never felt so left out.
みんなで海に行った時に、私だけが泳げませんでした。泳げない事がこんなに恨めしく思ったことはありません。

be mad at myself　は文字通り、「自分に腹を立てる、イライラする」という意味からも同様に恨めしく思うときの表現になります。

例文

I was mad at myself for not being able to swim.
自分が泳げないことを恨めしく思いました。

仮定法の「～していたらよかったのに」の文でも恨めしく思う表現ができます。

例文

I wish I had learned how to swim so that I would not have to feel this way.
泳ぎを習ってさえいれば、こんなに恨めしく思わなくてもすんだのに。