Hiro

ご協力いただきありがとうございます を英語で教えて!

「私たちの要請に応じ、我慢してくださり、ありがとうございます」の丁寧表現で上記のように表します。

appreciate：～を感謝する、高く評価する（他動詞）
patience：我慢、辛抱（不可算名詞）
cope with：～に応じる、対応する（複合動詞）

第三文型（主語［We］＋動詞［appreciate］＋目的語［your patience：あなたの我慢］）に副詞句（in coping with our requests：私たちの要請に応じるに際し）です。

ご参考で「ご配慮いただきありがとうございます」の意味で以下の様にも表せます。

Thank you for your accommodation regarding our rules.
弊社の規則に関してご配慮いただきありがとうございます。

accommodation：配慮、融通（不可算名詞）
regarding：～に関して（前置詞）

「～していただきありがとうございます」の定型表現 Thank you for に目的語の名詞（your accommodation）、副詞句（regarding our rules：弊社の規則に関して）を続けます。

何かありましたらお気軽にご連絡ください を英語で教えて!

「何かありましたらお気軽にご連絡ください」は上記のように表します。

anything：何か、なんでも（代名詞）
happen：起こる（自動詞）
please feel free to：お気軽に～する（慣用表現）
・あとに動詞原形を続けます。
contact：連絡する（他動詞）

前半は条件を表す従属副詞節で接続詞（If）のあとに第一文型（主語［anything］＋動詞［happens］）です。

後半は主節で丁寧表現の副詞（please）を間投詞的に文頭に置いて動詞原形（feel：～に感じる）、補語の形容詞（free：自由に）、副詞的用法のto不定詞（to contact us：私たちに連絡するのを）を加えます。

大文字・小文字 を英語で教えて!

「大文字・小文字」は名詞句として上記のように表します。ほかにややカジュアルな表現で capital letters （大文字）/ small letters （小文字）とも表せます。

uppercase：大文字の（形容詞）
lowercase：小文字の（形容詞）
・形容詞は修飾する名詞が必要であるため letter (文字)を使います。

ご質問は「よいですか」と助言を求めるので助動詞（Should：～がよい）を文頭に第三文型（主語［I］＋動詞［write］＋目的語［it］）に副詞句（in uppercase or lowercase letters：大文字と小文字どちらで）を加え以下のように表します。

Should I write it in uppercase or lowercase letters?
大文字と小文字どちらで書いた方がいいですか？

お忙しいところすみません を英語で教えて!

「お忙しいところお邪魔してすみません」の意味で上記のように表します。

disrupt：混乱させる、中断させる（他動詞）
・「手を止めさせる」「邪魔する」の意味で使います。

前半は第二文型（主語［I］＋動詞［be動詞］＋主語を補足説明する補語の形容詞［sorry］）に副詞句（for disrupting you：あなたの邪魔をして）です。

後半はタイミングを表す従属副詞節で接続詞（while：～のところ）のあとに第二文型（主語［you］＋動詞［be動詞］＋補語の形容詞［busy］）です。

お願いをするフレーズを加えて応用しましょう。

I am sorry for disrupting you while you are busy, but I have a favor to ask of you.
お忙しいところすみませんが、あなたにお願い申し上げたいことがあります。

後半は第三文型（主語［I］＋動詞［have］＋目的語［favor］）に形容詞的用法のto不定詞（to ask of you：あなたにお願い申し上げたい）を加えます。

不定詞の ask of you はフォーマルで、丁寧な依頼表現として用いられます。

ご都合の良い日時を教えてください を英語で教えて!

「ご都合の良い日時を教えてください」は上記のように表します。

let：～させる（使役動詞の他動詞）
・「使役動詞＋目的語＋原形不定詞」で「～（目的語）に～（原形不定詞）させる」の表現ができます。
・本件では let us know で「私たちに知らせる」の意味です。
available：ご都合の良い、空いている（形容詞）

「～してください」の丁寧表現の副詞（Please）を間投詞的に文頭において動詞原形（let）と目的語（us）、原形不定詞（know）、目的語（your available dates and times：あなたのご都合の良い日時）を続けます。

ご参考で丁寧表現の副詞は Kindly （親切にも）に置き換えられるので以下の様にも表せます。

Kindly let us know your available date and time.
ご都合の良い日時を教えてください。

後者は特にビジネス文書やフォーマルな場面で好まれる表現です。