Hiro

疲れたまま仕事を続けていた を英語で教えて!

「疲れたまま仕事を続けていた」は上記のように表します。

exhausted：疲れ切った、へとへとになった（形容詞）

主節である「仕事を続けていた」は「keep（ずっと～し続ける）＋現在分詞（ing形）」の構文形式で第二文型（主語［I］＋動詞［kept］＋主語を補足説明する補語の現在分詞［working：就業］）で構成します。

「疲れたまま」は「仕事を続けていた」の「付帯状況」を表す完了分詞構文で現在分詞 Having の後に過去分詞 been と補語の形容詞 exhausted を続けて構成します。

分詞構文は 「原因・理由」「条件」「時間」「付帯状況」 などを示す際に使われ、主に現在分詞や過去分詞を用いて文章を簡潔にする役割を果たします。

ほっそりした三日月 を英語で教えて!

「ほっそりした三日月」は名詞句として上記のように表します。

slender：ほっそりした、すらっとした（形容詞）
crescent moon：三日月（名詞句）
「次第に満ちる」の意味の形容詞 crescent が moon を修飾しています。

ご質問は第二文型（主語［slender crescent moon］＋動詞［be動詞］＋主語を補足説明する補語の形容詞［floating：浮かんでいる］）に副詞句（in the night sky：夜空には）を組み合わせて構成します。

A slender crescent moon was floating in the night sky.
夜空にはほっそりした三日月が浮かんでいた。

おおいに喜びました を英語で教えて!

「おおいに喜びました」は構文として上記のように表します。

overjoyed：狂喜して、大喜びして、おおいに喜んで（形容詞）
「あまりに」「おおいに」の副詞 over と「喜んで」の過去分詞 joyed が組み合わせられています。

第二文型（主語［I］＋動詞［be動詞］＋主語を補足説明する補語の形容詞［overjoyed］）で構成します。

「その知らせを聞いて」は上述構文の「原因・理由」を示す完了分詞構文で現在分詞 Having の後に過去分詞 heard と副詞句 of the news （ニュースを）を続けて構成します。全体では以下のように訳します。

Having heard of the news, I was overjoyed.
その知らせを聞いておおいに喜びました。

鉄の柵が錆びついてる を英語で教えて!

「鉄の柵が錆びついてる」は上記のように表します。

iron fence：鉄の柵（可算の名詞句）
rust：さびる、腐食する（自動詞）

「雨ざらしにされた」過去が現在に影響している様子を表すので現在完了形（主語［iron fence］＋助動詞［has］＋過去分詞［rusted］）で構成します。

「鉄の柵」は「雨ざらしになっていた」と修飾されているので過去分詞句 left exposed to the rain で後置修飾します。ご質問全体は以下のように訳します。

The iron fence, left exposed to the rain, has rusted.
雨ざらしになっていた鉄の柵が錆びついてる。

left：～の状態にされる（過去分詞）
原形は leave で「～の状態にしておく」の意味の他動詞です。
exposed to：さらされる（熟語表現）
「さらされた」「吹きさらしの」の形容詞 exposed に前置詞 to から始まる副詞句を組み合わせて構成します。本件は to the rain （雨に）となります。

まことしやかに噂が広まった を英語で教えて!

「まことしやかに噂が広まった」は上記のように表します。

rumor：噂（不可算名詞）
具体的に表すときは可算名詞扱いになります。
disseminate：散布する、ばらまく、広める（他動詞）

前半は受動態（主語［rumor］＋be動詞＋過去分詞［disseminated：広まった］）で構成します。

後半は前半の付帯状況を表す従属副詞節で接続詞（as if：あたかも～のよう）の後に事実と異なる場合に使う仮定法過去の第二文型（主語［it］＋動詞［were - 主語が単数でも was にはしない］＋主語を補足説明する補語［true］）を続けます。

直訳の「あたかも本当の様に」の意味から「まことしやかに」のニュアンスに繋がります。

「実際には事実無根だった」は第二文型（主語［it］＋動詞［be動詞］＋補語の形容詞［unfounded：事実無根］）に副詞（actually：実際には）を加えて構成します。

ご質問全体では以下のように訳します。

The rumor was disseminated as if it were true, but it was actually unfounded.
まことしやかに噂が広まったが、実際には事実無根だった。

unfounded：根拠のない、事実無根の、理由のない（形容詞）
否定の接頭辞 un を外した founded は「根拠が十分である」の意味になります。