Hiro

お年玉 を英語で教えて！

「New Year's gift money」で「新年の贈り物のお金」で即ち「お年玉」です。他には「monetary gift at the New Year」で「新年の金銭的贈り物」という意味で「お年玉」のニュアンスが出ると思います。

（文例）
On New Year's Day, relatives' children begged me for New Year's gift money.
（お正月に親戚の子供たちが私にお年玉をねだってきた。）

「beg」は動詞で「せがむ、乞う 、懇願する、請い願う」という意味です。ご参考になれば幸いです。

店に駆け込む を英語で教えて！

「rush into」はイディオムで「～の中に急速に入り込む、～に突入する、～になだれ込む、～に駆け付ける、～に駆け込む 」という意味が有ります。

ご質問の「お正月セールが始まったので、開店と同時に店に駆け込みました」は以下が適訳です。

（訳例）
The New Year sale has started, so I rushed into the store as soon as it opened.

今も初売りセールは続いているので前半は現在完了形（継続）にするのが良いと思います。ご参考になれば幸いです。

なんでやねん を英語で教えて！

「なんでやねん」は「なぜなのや、の転。 思うようにならない場合や、後悔の念や憤怒の表現、不快、失望もこの言葉」とオンライン辞書（Weblio）で定義されておりました。

「No way!」は「とんでもない！」という意味ですので上記の定義に照らして「思うようにならない場合や、憤怒の表現、不快、失望」に該当すると思います。

他には
What the hell?
What are you going on about?
What the hell are you doing?
You've gotta be kidding.

がそれぞれ「とんでもない！」、「なんてこったい？」「 何をしているの？」、「 何しているの？」「 冗談でしょ」を意味するので使えると思います。

顔色を伺う を英語で教えて！

「be sensitive to someone's mood」で「（人）の気分に敏感になる」という意味なので「顔色を伺う」とニュアンスは近いと思います。

ご質問の「お小遣いを上げてほしいので、母親の顔色を伺いながらお願いしよう」は以下が適訳と思います。

（訳例）
As I want my mother increase my pocket money, I will be sensitive to her mood and make a request.
（母にお小遣いを増やしてほしいので、母の機嫌を察してお願いしてみます。）

ご参考になれば幸いです。

お任せします を英語で教えて！

「entrusted menu」で「お任せメニュー」という意味で使われている例が多くありました。

（文例）
Chef's entrusted menu that incorporates high-class ingredients into seasonal ingredients.
（旬の食材に高級食材を取り入れたシェフおまかせメニュー）

ご質問をアレンジして「２万円のお任せメニューします」で訳してみましょう。

（訳例）
I would like the 20,000 yen entrusted menu.

ご参考になれば幸いです。