Hiro

今日何の日かわかる？ を英語で教えて!

「今日なんの日だかわかる？」は直訳すれば「Do you know what day it is today?」となります。

大体男性は忘れます、、というか覚える気が無い、、という人もいるかもしれません。。もう少しストレートに言うなら、「Don't you forget our anniversary day?（私たちの記念日を忘れていませんか？）」と言っても良いかもしれません。

全く覚えてくれない、ということなので、ズバリ言ってもいいかもしれません。
（例文）
Today is our anniversary day you proposed to me, did you forget?
（今日はプロポーズしてくれた記念日だけど忘れたの？）

ご参考になれば幸いです。

今日も綺麗だね。 を英語で教えて!

シンプルなのは以下の例文です。
（例文1）
You're beautiful as always.
（あなたはいつものように美しいです。）

「be looking nice/lovely/stunning/pretty」と置き換えても良いでしょう。

「惚れてしまったよ」のニュアンスを込めて以下もいいかもしれません。
（例文２）
You attract me so much.
（あなたは私をとても惹きつけます。）
I am fascinated by your beauty.
（私はあなたの美しさに魅了されています。）

ご参考になれば幸いです。

今日は祝日の振替休日です。 を英語で教えて!

「振替休日」は「a substitute (public) holiday」と言います。

（例文）
The museum is closed on Mondays (except for National Holidays/substitute public holidays on Monday, in which case the museum is open on the holiday and closed the following Tuesday instead).
（博物館の休館日は月曜日（月曜日が祝日・振替休日の場合は開館し、翌火曜日が休館）。）

「今日は祝日の振替休日です」は以下が適訳と考えます。
（訳例）
Today is a substitute holiday for a national (public) holiday.
（本日は祝日の振替休日です。）

ご参考になれば幸いです。

今日は私のおごりです を英語で教えて!

「treat」は「おもてなし」という意味が有ります。「It's my treat」は「私のおもてなしです＝おごりです」となります。動詞としても使えて「I will treat you for today's drinking（今日の一杯はごちそうします。）」という表現も出来ます。

他の表現として以下の例文を挙げます。
（例文）
Today's drinking is on me.
I will take care of today's drinking.
I will pay for today's drinking.

ご参考になれば幸いです。

自由行動 を英語で教えて!

「to take independent action」で「自由行動をとる」という意味です。「自由行動をとらせる」なら「to leave one a free hand」、「to give one a free hand」という表現も出来ます。

ご質問をアレンジして「明日は視察がありませんので、皆さん、自由行動をとることができます」として訳すると以下が適訳と考えます。

（訳例）
There will be no inspection tomorrow, so everyone can take independent action.
（明日は視察がありませんので、誰もが自由行動できます。）

ご参考になれば幸いです。