Hiro

気まぐれな天気 を英語で教えて！

「天気」は「weather」なので「気まぐれな」というニュアンスの形容詞が問題ですね。
先ず「fickle　（変わりやすい、 気まぐれな、移り気の）」を使っている用例が多いようです。

（文例）
The weather is fickle.
天気は変わりやすい

「changeable　（変わりやすい、可変性の）」等でも用例が有ります。
（文例）
"The weather is changeable/irregular/fluid/capricious in spring here."
（ここの春の天気は変わりやすい/不規則/流動的/気まぐれです。）

他には「whimsy weather」という表現も有りました。

（文例）
This region faces constant flooding due to the whimsy weather, rainfall, and urban congested development.
（この地域は、気まぐれな天候、降雨、および都市の混雑した開発により、絶え間なく洪水に直面しています。）

ご参考になれば幸いです。

気をしっかり持って を英語で教えて！

Cambridge Dictionary の定義では「 continue doing something or staying somewhere although it is difficult or unpleasant to do so　（困難または不愉快ではあるが、何かをし続ける、またはどこかにとどまる）　」とあります。
ご質問の「落ち込むことが有っても、気をしっかり持ってね」とニュアンスが通じると思います。

他の表現としては、
「brace oneself (up)」
「hold on to oneself」
という表現も有ります。

ご参考になれば幸いです。

気を悪くされていないと良いのですが を英語で教えて！

「offended」は形容詞で「気分や感情を害した、気を悪くした、立腹した、傷つけられた」という意味が有ります。「良いのですが」は「I hope (that)」の構文で表すと合うと思います。

シンプルに「気を悪くされていないと良いのですが」という場合は、
I hope you are not offended.
で通じます。

ご質問の「詮索するつもりはなかったけど、余計なことばかり聞いてしまったので、気を悪くされていないと良いのですが」を訳すると以下が適訳と考えます。

（訳例）
I didn't mean to pry, but I've heard a lot of unnecessary things, so I hope you are not offended.

ご参考になれば幸いです。

気を引く を英語で教えて！

「気を引く」の「引く」ニュアンスを表す動詞は「 attract」、「draw」、「 gain」、「 get」、「 raise」、「 receive」、「 garner」、「 capture」などが使えそうです。誰かの気（注意、着目）は「 someone's attention」で良いでしょう。

ご質問をアレンジして「貴方に遊んでもらいたくて子犬がキャンキャン言って気を引こうとしているよ」で訳してみましょう。

（訳例）
The puppy is screaming and trying to attract your attention because he wants you to play with him.

ご参考になれば幸いです。

気を紛らわしている を英語で教えて！

「comfort」は他動詞で「人を元気が出るように慰める、安心させる」という意味です。
「気を紛らわす」とニュアンスが通じると思います。

「distract」という他動詞もあり「気を紛らす、気を散らす」という意味です。いずれかを使って、ご質問の場合、自分自身を慰める、気を紛らわせることになるので「confort/distract myself」と表現すると良いでしょう。

ご質問をアレンジして「癌の検査結果を待っている間気持ちが落ち着かないので漫画を読みながら気を紛らわしています」で訳してみましょう。

（訳例）
While waiting for my cancer test results, I feel restless, so I read manga to comfort/distract myself.
現在の状況と仮定して時制は現在形にしました。「restless（落ち着きないさま）」も覚えておくと良いですよ。

ご参考になれば幸いです。