Hiro

他に方法がない を英語で教えて！

ご質問をアレンジして「いろいろやり尽くしたがもう他に方法がない」で訳してみましょう。
（訳例１）
I've tried everything, but there's no other way.
（いろいろやり尽くしたがもう他に方法がない。）

他には、「no alternative but to do」で「～するしかない」という表現もいいでしょう。
（訳例２）
I've tried everything, but we have no alternative but to do in that way.
(私はすべてを試しましたが、そのようにするしかありません。)

「alternative」は「(of one or more things) available as another possibility」で「他の選択肢」という意味です。

ご参考になれば幸いです。

奮ってご参加ください を英語で教えて！

「参加してください」という意味ですが、これで充分意味は通じます。

（例文）
Your family, on your friend invitation alignment, please join us!
（ ご家族、ご友人お誘い合わせの上、是非ご参加ください。）

「奮って」は「actively」等積極性を示す副詞をあてると良いかと思います。あと「by all means（ぜひとも）」も良いですね。

ご質問の「イベントに奮ってご参加ください」を訳すと、以下が適切と思います。
（訳例）
Please join us in the event by all means.
(是非ともイベントにご参加ください。)

ご参考になれば幸いです。

無料開放する を英語で教えて！

「open for free」で「無料で開放する」という意味です。

（例文）
Squaw Valley Park in Olympic Valley now open for free snow play.
(オリンピック バレーのスコー バレー パークが無料で雪遊びができるようになりました。)

ご質問をアレンジして「市はイベントで、市民に市の施設を無料開放いたします」で訳しましょう。

（訳例）
At the event, the city will open city facilities for free to citizens.
（イベントでは、市は市の施設を市民に無料で開放します。）

ご参考になれば幸いです。

立役者 を英語で教えて！

「the driving force」で「原動力」という意味ですが、「イベント成功への原動力」という意味で「立役者」とニュアンスが通じますね。

ご質問の「そのイベントの立役者は彼です」は以下が適訳と思います。

（訳例）
He is the driving force behind the event.
（彼はこのイベントの原動力です。）

他には「a kingpin」で「ボーリングのヘッドピン」から転じて「中心人物」を「立役者」とも言えます。此方は上記の「driving force」と「kingpin」を置き換えれば良いですね。

ご参考になれば幸いです。

かいつまんで話す を英語で教えて！

「in short」はイディオムで「かいつまんで言えば」という意味です。

同じ意味で「briefly stated」、「to sum up」、「In brief」、「In a word」、「in sum」などもつかえます。

これらをアレンジして「かいつまんで話してくれる？」を表現しましょう。

（訳例）
Could you explain in short?　（簡単に説明していただけますか？）
Would you sum up your explanation?　（あなたの説明を要約していただけますか？）
Could you say in a word?　（一言で言えば？）

ご参考になれば幸いです。