Hiro

苦情が殺到している を英語で教えて！

「殺到する」の動詞は「stampede」が有ります。ご質問の「新サービスへの苦情がカスタマーサポートに殺到している」に対して「A lot of complaints about the new service are stampeding to our customer support. 」という訳が先ず考えられます。

他に「be inundated with」も「殺到する」という意味の表現です。形容詞「inundated」は「洪水に遭った、浸水した」という意味ですので「洪水のように殺到する」という感じです。此方の表現で訳すと「Customer support is inundated with complaints about the new service. 」も考えられます。

ご参考になれば幸いです。

苦戦する を英語で教えて！

動詞「struggle」は「〔困難などに〕取り組む、奮闘する、苦労する」という意味ですので「苦戦する」とニュアンスが通じると思います。「a struggle」という名詞もあります。

ご質問の「だいぶ苦戦したけど、なんとか終わらせたよ」の訳を動詞と名詞の両パターンで考えました。
（動詞）
I struggled quite a bit, but I managed to finish it.
（名詞）
It was a bit of a struggle, but I managed to finish it.

ご参考になれば幸いです。

苦肉の策 を英語で教えて！

昔「デスパレートな妻たち」（原題: Desperate Housewives）というドラマがありました。「desperate」は「自暴自棄の、捨てばちの、無鉄砲な、死に物狂いの、窮余の」という意味を持つ形容詞です。これと「策、手段」という意味を持つ「measure」を組み合わせれば「窮余の一策≒苦肉の策」のニュアンスに通じます。
（例文）
He had no alternative but to resort to desperate measures.
（彼は苦肉の策に頼るしかなかった。）

「last resort」という表現もあります。「〔目的を達成するための〕最後の手段・拠り所、最終手段、切り札、奥の手、伝家の宝刀」といった意味合いです。
（例文）
Our boss's unreasonable requests are believed to have been his last resort to buy time when he was struggled with the difficulty in directing a project.
（私たちの上司の理不尽な要求は、プロジェクトの指揮に苦労していた上司が時間を稼ぐための最後の手段だったと考えられています。）

ご参考になれば幸いです。

苦労を知らない を英語で教えて！

「insulate」は「熱などから保護、絶縁する」という意味の動詞です。Cambridge Dictionaryには「to protect someone or something from harmful experiences or influences」という定義もあり「誰かや何かを有害な事や物から守る」という意味ですので、「社会的地位や資産力で世間の荒波から守る（≒苦労知らずにさせる）」というニュアンスでも使用できそうです。

（例文）
Until recently he has been insulated from hardship by his family's reserves of huge assets.
(最近まで、彼は家族の莫大な資産の蓄えによって苦難から守られてきました。)

ご質問の「彼は父親が社長だから、金に余裕があって苦労を知らないんだよ。」は上記をアレンジすると以下のように訳せると思います。
He is insulated from shortage of money by his father's position of being a company president and its leeway.　（社長という父の立場と余裕で彼は金欠を免れている。)

ご参考になれば幸いです。

空いた口が塞がらない を英語で教えて！

「dumbfounded」は形容詞で「唖然とした、びっくりした」という意味になりますので「空いた口が塞がらない」とニュアンスが通じると思います。「～に開いた口が塞がらない」という時は「be dumbfounded at」という表現が適訳です。

（例文）
I was dumbfounded at her immature behavior.
（私は彼女の未熟な振る舞いに唖然とした。）

同じく形容詞の「stunned」もご紹介したいと思います。「唖然、愕然、茫然として」という意味です。
（例文）
I was stunned at his rude reaction.
（私は彼の無礼な反応に唖然とした。）

ご参考になれば幸いです。