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悩みを抱え込む を英語で教えて！

例文
When you have nobody to consult with or you don't feel like consulting, you say, " I brood over my be burdened with"worries."
相談できる相手がいない、相談したくない時に、「悩みを抱え込む」と言います。

「抱え込む」は、他にも、
"be burdened with"や、"keep ～to oneself"
等があります。

「悩み」は、他にも、
"distress"や、"torment"や、"affliction"や、"anguish"や、
"trouble"や、"bother"や、"anxiety"や、"hardship"
等があります。

折り入って話がある を英語で教えて！

例文
Since I have something to consult with him, I would like to say, "I have something important that I would like to discuss with you."
相談したいことがあるので、「折り入って話があるんだけど」と言いたいです。

「折り入って」は、「深く心を込めて。特別に。ぜひとも」の意味です。英訳は、副詞の"earnestly"です。
ただし、文章化すると、この副詞を使わなくても言えます。
例文もそうです。"I would like to"に「折り入って」の意味を含んでいます。

ちなみに、回答例の他にも、
"I would like to ask you to give me some time to discuss a matter of some weight."
と表現できます。

問い詰める を英語で教えて！

例文
When you condemn the opponent, you say, " You press him or her for an answer."
相手を非難する時に、「問い詰める」と言います。

「問い詰める」は、他にも、
"question someone closely"や、"drive a question home"や、"press a question home"や、"demand an answer"や、"cross-question"や、"cross-examine"や、"subject someone to a cross-examination"
等があります。

真に受ける を英語で教えて！

例文
When you believe your buddy's story, you say, " I take it seriously."
相手の話を信じる時に、「話を真に受ける」と言います。

日本語を直訳したような表現ですが、これで立派に通じます。お世辞、噓、冗談、他人の話など、ほとんどの場合に使えます。

「真に受ける」は、他にも、
（言葉通りに取る）"Take someone at his or her word"や、"believe"
（鵜吞みにする）"swallow"
等があります。

はい、残念でしたー を英語で教えて！

例文
When my buddy's answer was wrong, I say, "Hey! It's incorrect."
相手の答えが間違っていたとき、「はい、残念でしたー」と言います。

"Hey! It's incorrect"は、「おやまあ、不正解」の意味です。「はい、残電でしたー」が直訳できないので、苦肉の策です。

「はい、残念でしたー」は、相手の答えが間違っていた時に発すると、相手を小ばかにしているようにも聞こえます。そして、本人は喜んでいる様子に見えます。
このようなわけで、Hey! It's incorrect"と、訳してみました。"Hey!"は、「喜び、驚き」などにも使用できます。