Ken

請求書をいただけますか？ を英語で教えて!

「請求書をいただけますか？」は、上記のように表せます。

could I have 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜をください」「〜をいただけますか？」などの意味を表す表現になります。
check は「確認する」「チェックする」などの意味を表す動詞ですが、名詞としては「確認」「チェック」などの意味に加えて、「請求書」「伝票」などの意味も表せます。

例文
Thank you, the dishes were excellent. Could I have the check?
ありがとう、素晴らしい料理でした。請求書をいただけますか？

※dish は「お皿」「食器」などの意味を表す名詞ですが、「（お皿に乗った）料理」という意味も表せます。

直感を信じる を英語で教えて!

「直感を信じる」は、上記のように表せます。

go with 〜 は「〜と共に行く」という意味を表す表現ですが、「〜に従う」「〜を信じる」などのニュアンスで使われることもあります。
gut は「腸」「胃腸」「腹」などの意味を表す名詞ですが、「直感」「本能」「勇気」などの意味でも使われます。

例文
I can't explain it well, but I think it's key to go with your gut.
上手く説明出来ないけど、直感を信じることは重要だと思う。

※key は「鍵」という意味を表す名詞ですが、形容詞として「鍵になる」「重要な」「大事な」などの意味も表せます。

わかりませんを英語で教えて！ を英語で教えて!

「わかりません」は、上記のように表せます。

こちらは「わからない」「知らない」などの意味を表す表現ですが、少し素っ気ないニュアンスのある I don't know に比べて、柔らかいニュアンスの表現になります。

例文
Sorry, I’m not sure. Could you ask the convenience store clerk over there?
ごめんなさい、わかりません。そこのコンビニの店員に聞いてください。

※store は「店」という意味を表す名詞ですが、こちらは「販売のみを行う店」「小売店」のことを表す表現になります。
（動詞として「蓄える」「保管する」などの意味も表せます）

気楽にしてねを英語で教えて！ を英語で教えて!

「気楽にしてね」は、上記のように表せます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜して」「〜しよう」などのニュアンスでも使えます。
chill は「冷たさ」「寒気」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に「気楽にする」「まったりする」「ダラダラする」などの意味も表せます。

例文
I'm gonna bring the documents immediately, so wait in this room. You should chill.
すぐに資料を持ってくるから、この部屋で待っていて。気楽にしてね。

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
※immediately は「すぐに」「即座に」などの意味を表す副詞ですが、急ぎのニュアンスが高めの表現になります。

失敗を恐れるなを英語で教えて！ を英語で教えて!

「失敗を恐れるな」は、上記のように表せます。

don't + 動詞の原形 で「〜するな」という意味を表せます。
（丁寧なニュアンスの please don't 〜 もよく使われます）
afraid は「恐れて」「怖がって」などの意味を表す形容詞ですが、「心配して」という意味も表現できます。
fail は「失敗する」「しくじる」などの意味を表す動詞ですが「（試験などに）落ちる」という意味でも使われます。

例文
Don't be afraid to fail. You can grow by repeating failure and improvement.
失敗を恐れるな。失敗と改善を繰り返すことで成長するんだ。

※grow は「育つ」「成長する」などの意味を表す動詞ですが、「栽培する」「培養する」などの意味でも使えます。