Ken

会議は目下進行中 を英語で教えて!

The meeting is underway currently.
会議は目下進行中。

underway は「進行中の」「途中の」などの意味を表す形容詞になります。また、currently は「目下」「現在」などの意味を表す副詞です。

The meeting is underway currently. It should finish before 5 o'clock.
（会議は目下進行中です。5時前には終わるはずですが。）

The conference is underway currently.
会議は目下進行中です。

conference も「会議」という意味を表す名詞ですが、こちらは meeting と比べて「規模の大きい会議」というニュアンスがあります。

The conference is underway currently. I've come to pick up samples.
（会議は目下進行中です。サンプルを取りに来ました。）

本屋をのぞいてみる を英語で教えて!

I'm gonna drop by the bookstore.
本屋をのぞいてみる。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、drop by は「立ち寄る」「顔を出す」などの意味を表す表現になります。
※ store は「店」という意味を表す名詞ですが、「販売のみを行う店」に対して使われる表現になります。

There's a book I wanna buy, so I'm gonna drop by the bookstore.
（買いたい本あるから、ちょっと、本屋をのぞいてみる。）
※wanna は want to を略したスラング表現になります。

I'll drop by the bookseller.
本屋をのぞいてみる。

bookseller は「本屋」「書籍販売者」などの意味を表す名詞です。
※book は「本」という意味を表す名詞ですが、動詞として「予約する」という意味も表せます。

I'll drop by the bookseller so wait a minute.
（本屋をのぞいてみるから、ちょっと待ってて。）

常設展はこちらです を英語で教えて!

The permanent exhibit is here.
常設展はこちらです。

permanent は「永遠の」「永久の」などの意味を表す形容詞ですが、「常設の」という意味も表せます。また、exhibit は「展示する」「見せる」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「展示会」「展示物」などの意味も表せます。

The permanent exhibit is here. Enjoy yourself.
（常設展はこちらです。お楽しみください。）

The permanent exhibition is here.
常設展はこちらです。

exhibition は「展示」「展示会」「展示物」などの意味を表す名詞になります。

The permanent exhibition is here. I’m sorry for confusing you.
（常設展はこちらです。分かりにくくてすみません。）

彼には圧倒されました を英語で教えて!

I was overwhelmed by him.
彼には圧倒されました。

overwhelmed は「圧倒された」「困惑した」などの意味を表す形容詞になります。

I was overwhelmed by him because of his big voice and body.
（声も体も大きいので、彼には圧倒されました。）

I was blown away by him.
彼には圧倒されました。

be blown away は「吹き飛ばされる」という意味を表す表現ですが、「圧倒させられる」「感動させられる」などの意味も表せます。

I was blown away by him. His vibes were out of the ordinary.
（彼には圧倒されました。雰囲気が普通じゃなかった。）
※vibe は vibration（振動）を略したスラング表現ですが、「雰囲気」「感じ」などの意味を表せます。

部屋の鍵はご自身で管理してください を英語で教えて!

We would like you to keep your own room key.
部屋の鍵はご自身で管理してください。

would like you to 〜 は、丁寧なニュアンスの「〜してほしい」という意味を表す表現ですが、「〜してください」という意味でも使えます。また、keep は「続ける」「保つ」などの意味を表す動詞ですが、「管理する」「（ペットなどを）飼う」などの意味も表せます。

I'm sorry to bother you, but we would like you to keep your own room key.
（お手数ですが、部屋の鍵はご自身で管理してください。）

Please keep your own room key.
部屋の鍵はご自身で管理してください。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現なので、少し上から目線な感じが出ます。

Please keep your own room key. If you lose it, you will be charged a set fee.
（部屋の鍵はご自身で管理してください。失くした場合は規定の金額をお支払いいただきます。）