Ken

他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください を英語で教えて!

Other stores set cheaper prices even 1 yen, let us know.
他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください。

store は「店」という意味を表す名詞ですが、「販売のみを行う店」に対して使われる表現になります。また、price は「価格」「値段」などの意味を表す名詞ですが、prices と複数形にして「物価」という意味でも使われます。
※ store は動詞として「保管する」「蓄える」などの意味を表せます。

In the unlikely event that other stores set cheaper prices even 1 yen, let us know.
（万が一、他店の方が１円でも安い場合はお申し付けください。）
※ In the unlikely event（万が一）

次元が違う を英語で教えて!

You are in another dimension.
次元が違う。

dimension は「寸法」「範囲」などの意味を表す名詞ですが、「次元」という意味でも使われます。

It’s amazing. He's in another dimension compared to me.
（凄いな。私とは次元が違うよ。）

You are a different breed.
次元が違う。

different breed は「違う品種」「違う種族」などの意味を表す表現ですが、人に対して（褒め言葉的に）「次元が違う」「レベルが違う」というような使い方もできます。

I can't believe it, you are a different breed.
（信じられない。君は次元が違うよ。）

貴重な情報をもたらした を英語で教えて!

You brought valuable information.
貴重な情報をもたらした。

bring（brought は bring の過去形、過去分詞形）は「持ってくる」「連れてくる」などの意味を表す動詞ですが、「もたらす」というニュアンスでも使えます。また、valuable は「貴重な」「価値がある」などの意味を表す形容詞です。

He brought valuable information to the company.
（彼は会社に貴重な情報をもたらした。）

You provided precious info.
貴重な情報をもたらした。

provide は「もたらす」「提供する」などの意味を表す動詞ですが、「養う」という意味も表せます。また、precious も「貴重な」という意味を表す形容詞ですが、valuable と比べて、主観的なニュアンスが強めな表現になります。
※ information（情報）は、よく info と略されます。

They provided precious info to us
（彼等は我々に貴重な情報をもたらした。）

改善の余地はかなりある を英語で教えて!

There is room for improvement considerably.
改善の余地はかなりある。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われます。また、room for improvement で「改善の余地」という意味を表せます。
※ considerably は「かなり」「相当」などの意味を表す副詞です。

Frankly, there is room for improvement considerably.
（率直に言うと、改善の余地はかなりある。）

There is pretty room for improvement.
改善の余地はかなりある。

pretty は「かわいい」という意味を表す形容詞ですが、副詞として「かなり」という意味も表せます。

There is pretty room for improvement, so could you wait a moment?
（改善の余地はかなりあるので、少々お待ちいただけますか？）

あなたの考え方尊敬するよ を英語で教えて!

I respect your mindset.
あなたの考え方尊敬するよ。

respect は「尊敬」「敬意」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「尊敬する」「敬意を払う」などの意味を表せます。また、mindset は「考え方」「習慣」などの意味を表す名詞になります。

That's great, I respect your mindset.
（素晴らしいね、あなたの考え方尊敬するよ。）

I respect your perspective.
あなたの考え方尊敬するよ。

perspective は「視点」「観点」などの意味を表す名詞ですが、「考え方」「物の見方」などの意味も表せます。

Thank you, I respect your perspective.
（ありがとう、あなたの考え方尊敬するよ。）