Ken

家に着いたらすぐLINEするよ を英語で教えて!

I'm gonna send you a message in Line when I get home immediately.
家に着いたらすぐLINEするよ。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、「LINEする」は英語では（説明的になりますが）send a message in Line で表現できます。
※ immediately は「すぐに」「即座に」という意味を表す副詞で、急ぎのニュアンスがある表現になります。

Thank you, I'm gonna send you a message in Line when I get home immediately.
（ありがとう、家に着いたらすぐLINEするよ。）

I'll send you a message in Line as soon as I get home.
家に着いたらすぐLINEするよ。

as soon as 〜 で「〜したらすぐに」という意味を表せます。

Sorry, I'm busy right now. I'll send you a message in Line as soon as I get home.
（ごめん、今忙しい。家に着いたらすぐLINEするよ。）

不景気にもかかわらずビジネスは好況 を英語で教えて!

Business is favorable despite the recession.
不景気にもかかわらずビジネスは好況。

business は「仕事」「事業」「ビジネス」などの意味を表す名詞ですが、「私事」や「やるべきこと」などの意味で使われることもあります。また、favorable は「好況な」「好調な」などの意味を表す形容詞です。
※ recession は「不況」「不景気」などの意味を表す名詞ですが、「退去」「撤退」などの意味も表せます。

To be honest, business is favorable despite the recession.
（正直なところ、不景気にもかかわらずビジネスは好況だよ。）

私の話をするね を英語で教えて!

I’m gonna speak about me.
私の話をするね。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、speak は「話す」という意味を表す動詞ですが、「（一方的に）話す」というニュアンスのある表現になります。

I’m gonna speak about me as an example.
（例として、私の話をするね。）

I will tell you my story.
私の話をするね。

will は未来の行動を表す助動詞ですが、名詞として「意志」という意味も表せます。また、story は「話」「物語」などの意味を表す名詞ですが、「噂」というニュアンスでも使われます。

First of all, I will tell you my story.
（まず最初に、私の話をするね。）

最近は英語で映画を観ることにハマっています を英語で教えて!

Lately, I’m crazy about seeing movies in English.
最近は英語で映画を観ることにハマっています。

lately は「最近」「近頃」などの意味を表す副詞になります。また、be crazy about 〜 で「〜にハマってる」「〜 に夢中」などの意味を表せます。
※ movie は「映画」という意味を表す名詞ですが、「娯楽映画」に対して使われる傾向がある表現になります。

Lately, I’m crazy about seeing movies in English. I like especially the fantasy.
（最近は英語で映画を観ることにハマっています。特にファンタジーが好きです。）

Lately, I’m into seeing films in English.
最近は英語で映画を観ることにハマっています。

be into 〜 でも「〜にハマっている」という意味を表せます。また、film も「映画」という意味を表す名詞ですが、こちらは「記録的価値や芸術的価値の高い映画」に対して使われる傾向がある表現になります。

Thanks to his influence, lately, I’m into seeing films in English.
（彼の影響で、最近は英語で映画を観ることにハマっています。）

通勤電車では英語の勉強をしています を英語で教えて!

I study English on the commuter train.
通勤電車では英語の勉強をしています。

study は「勉強する」という行為を表す動詞になります。（名詞として「勉強」「研究」などの意味も表せます。）また、commuter は「通勤者」という意味を表す名詞ですが、形容詞として「通勤の」という意味も表せます。

In my case, I use English at work, so I study English on the commuter train.
（私の場合、仕事で英語を使うので、通勤電車では英語の勉強をしています。）

I learn English on the commuter train.
通勤電車では英語の勉強をしています。

learn も「勉強する」「学ぶ」などの意味を表す動詞ですが、こちらは「勉強して何かを得る」というニュアンスがある表現になります。

I like traveling abroad, I learn English on the commuter train.
（海外旅行が好きなので、通勤電車では英語の勉強をしています。）