Ken

今、私が間違っていたとわかりました を英語で教えて!

I understand now that I was wrong.
今、私が間違っていたとわかりました。

understand、は少し固いニュアンスの「わかる」「わかった」「理解した」などの意味を表す動詞になります。また、wrong は「間違っている」という意味を表す形容詞ですが、名詞として「間違い」「不正」などの意味も表せます。

Embarrassingly, I understand now that I was wrong.
（恥ずかしながら、今、私が間違っていたとわかりました。）

I realize now that I was wrong.
今、私が間違っていたとわかりました。

realize は「気付く」という意味を表す動詞ですが、「感覚的に気付く」のではなく、「わかる」のような「頭で考えて気付く」というニュアンスの表現になります。

After hearing your explanation, I realize now that I was wrong.
（あなたの説明を聞いて、今、私が間違っていたとわかりました。）

何を望んでいるか知ってます を英語で教えて!

I know what you hope.
何を望んでいるか知ってます。

know は「知る」「知っている」などの意味を表す動詞ですが、「経験する」「心得がある」などの意味で使われることもあります。また、hope は「望む」「願う」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「望み」「願い」などの意味も表せます。

Don’t worry, I know what you hope.
（ご安心ください、お客様が何を望んでいるか知ってます。）

I know what you see.
何を望んでいるか知ってます。

see は「見る」「会う」などの意味を表す動詞ですが、「望む」という意味も表せます。

I'm an expert, so I know what you see.
（私は専門家なので、あなたが何を望んでいるか知ってます。）

どっちが正しいと思う？ を英語で教えて!

Which one do you think is right?
どっちが正しいと思う？

think は「思う」「考える」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「考えること」という意味も表せます。また、right は「右」や「権利」などの意味を表す名詞ですが、形容詞として「正しい」という意味も表せます。（「倫理的に正しい」というニュアンスの表現です。）

By the way, which one do you think is right?
（ちなみに、どっちが正しいと思う？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

Which one do you think is correct?
どっちが正しいと思う？

correct も「正しい」という意味を表す形容詞ですが、こちらは「正確な」というような客観性の高いニュアンスになります。

I don’t know well. Which one do you think is correct?
（よくわからないな。どっちが正しいと思う？）

完璧な関係はない を英語で教えて!

There is no perfect relationship.
完璧な関係はない。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。（there is no とすると、there is not とするより、「ない」ということを強調したニュアンスにできます。）また、perfect は「完璧な」「完全な」などの意味を表す形容詞です。
※ relationship は「関係」という意味を表す名詞ですが、よく「恋愛関係」という意味でも使われます。

There is no perfect relationship. Take it easy.
（完璧な関係なんてないさ。気楽に行こうよ。）

運がいいね を英語で教えて!

You're lucky.
運がいいね。

lucky は「運がいい」「幸運な」などの意味を表す形容詞になります。

You're lucky. I wanna take that coffee.
（運がいいね。そのコーヒーちょうだいよ。）
※wanna は want to を略したスラング表現になります。

You're in luck.
運がいいね。

luck は「運」「幸運」などの意味を表す名詞ですが、「運命」という意味で使われることもあります。

You're in luck. How much did you making consequently?
（君は運がいいね。結果的にいくら儲かったの？）
※ consequently（結果的に、従って、など）