Ken

進捗状況を随時教えてください を英語で教えて!

Could you tell me your progress at any time?
進捗状況を随時教えてください。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜していただけませんか？」などの意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表す表現です。

I have to grasp it so could you tell me your progress at any time?
（把握しておく必要があるので、進捗状況を随時教えてください。）

Please tell me your progress at any time.
進捗状況を随時教えてください。

please も「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、こちらは命令形のニュアンスも含む表現になるので、少し上から目線な感じになります。

The deadline is approaching, so please tell me your progress at any time.
（締め切りが近づいているので、進捗状況を随時教えてください。）

永遠にってこと？ を英語で教えて!

Do you mean it’s forever?
永遠にってこと？

mean は「意味する」という意味を表す動詞ですが、形容詞として「意地悪な」という意味を表せます。また、forever は「永遠」（名詞）や「永遠に」（副詞）などの意味を表す表現です。

Do you mean it’s forever? What happened?
（永遠にってこと？何があったの？）

You mean it’s forever?
永遠にってこと？

do you mean 〜 ?（〜ってことですか？、〜って意味ですか？、など）は、よく you mean 〜 ? と略されます。

What are you talking about? You mean it’s forever?
（何言ってんの？永遠にってこと？）

寝る準備を始めた方がいいね を英語で教えて!

You should start getting ready for bed.
寝る準備を始めた方がいいね。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞になります。また、start は「始める」「開始する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「始まり」「開始」などの意味も表せます。

It's already 9 o'clock, so you should start getting ready for bed.
（もう9時だから、寝る準備を始めた方がいいね。）

You should begin preparation for sleep.
寝る準備を始めた方がいいね。

begin も「始める」という意味を表す動詞ですが、start より少し固いニュアンスになります。また、preparation は「準備」という意味を表す名詞ですが、こちらも getting ready と比べると、固いニュアンスです。

You should begin preparation for sleep. Turn off the TV.
（寝る準備を始めた方がいいね。テレビ消して。）

遅延証明書をもらわないと！ を英語で教えて!

I have to get a delay certificate!
遅延証明書をもらわないと！

have to は「〜しなければならない」「〜しないと」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。また、certificate は「証明書」「鑑定書」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「証明する」という意味も表せます。

I have to get a delay certificate to submit to the General Affairs Department!
（総務部に提出する遅延証明書をもらわないと！）

I need to get a delay certificate!
遅延証明書をもらわないと！

need to も「〜しなければならない」「〜しないと」という意味を表す表現ですが、こちらは have to に比べて、主観的なニュアンスの強い表現になります。

Sorry, I need to get a delay certificate immediately!
（ごめん、すぐに遅延証明書をもらわないと！）

お部屋に内線電話はございません を英語で教えて!

There are no extension telephones in the rooms.
お部屋に内線電話はございません。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。（there is no とすると there is not とするより「ない」ということを強調したニュアンスにできます）また、extension は「拡張」「伸長」などの意味を表す名詞ですが、「内線」という意味も表せます。

Unfortunately, there are no extension telephones in the rooms.
（残念ながら、お部屋に内線電話はございません。）

There are no internal phones in the rooms.
お部屋に内線電話はございません。

internal は「内部の」「内側の」などの意味を表す形容詞になります。また、phone は「電話」という意味を表す名詞ですが、動詞として「電話する」という意味も表せます。

Please note that there are no internal phones in the rooms.
（お部屋に内線電話はございませんので、ご了承ください。）