Ken

地震の損害は補償してくれない を英語で教えて!

They don't compensate for the earthquake damage.
地震の損害は補償してくれない。

compensate は「補償する」「補う」などの意味を表す動詞ですが、「償う」という意味も表せます。また、earthquake は「地震」という意味を表す名詞です。

My fire insurance doesn't compensate for the earthquake damage.
（私の火災保険は、地震の損害は補償してくれない。）

They don't cover the quake damage.
地震の損害は補償してくれない。

cover は「覆う」「カバーする」などの意味を表す動詞ですが、「補償する」「報道する」などの意味も表せます。また、earthquake はよく quake と略されます。

I don't remember well, but I think they don't cover the quake damage.
（よく覚えてないけど、たぶん地震の損害は補償してくれない。）

虫カゴ を英語で教えて!

bug cage
虫かご

bug は「虫」という意味を表す名詞ですが、動詞として「イライラさせる」「困らせる」などの意味も表せます。また、cage は「カゴ」「檻」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「カゴに入れる」「檻に入れる」などの意味を表せます。

We should bring a bug cage to put the bugs we catch in.
（捕まえた虫を入れる虫カゴを持って行きましょう。）

insect cage
虫カゴ

insect も「虫」という意味を表す名詞ですが、こちらは「昆虫」に対して使われる表現になります。

I bought a new insect cage at the supermarket.
（スーパーで、新しい虫カゴを買った。）

映画館では電話を切る、それがマナー を英語で教えて!

It's good manners to turn off the phone in a movie theater.
映画館では電話を切る、それがマナー。

good は「良い」「上手い」「美味しい」などの意味を表す形容詞ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。また、manner は「方法」「やり方」などの意味を表す名詞ですが、manners と複数形にして「マナー」「行儀」などの意味も表せます。
※ちなみに movie は「映画」という意味を表す名詞ですが、「娯楽映画」に対して使われる傾向がある表現になります。（芸術的な映画の場合は、film がよく使われます。）

It's noisy. It's good manners to turn off the phone in a movie theater.
（うるさいなあ。映画館では電話を切る、それがマナー。）

きちんと文書で報告を を英語で教えて!

I would like a report in writing properly.
きちんと文書で報告を。

would like 〜 は、丁寧なニュアンスの「〜がほしい」という意味を表す表現になります。また、report は「報告」「レポート」などの意味を表す名詞です。
※in writing は「文書で」「書面で」などの意味を表す表現です。

To be honest, I would like a report in writing properly.
（正直言って、きちんと文書で報告をしてほしい。）

I would like you to report it in writing properly.
きちんと文書で報告を。

report は、動詞としても意味があり、「報告する」「伝える」などの意味を表せます。

I would like you to report it in writing properly, not verbally.
（口頭でなく、きちんと文書で報告を。）

政府には腹が立つ を英語で教えて!

I get angry at the government.
政府には腹が立つ。

get angry は「怒る」「腹が立つ」などの意味を表す表現になります。また、government は「政府」「政権」「内閣」などの意味を表す名詞です。

About the taxes, I get angry at the government.
（税金に関しては、政府には腹が立つ。）

I get mad at the government.
政府には腹が立つ。

get mad も「腹が立つ」という意味を表す表現ですが、angry よりも怒りの度合いが高いニュアンスがあります。

I'm not gonna vote for him because I get mad at the government.
（政府には腹が立つので、彼には投票しない。）