Ken

心根が悪い を英語で教えて!

mean
心根が悪い

mean は「意味する」という意味を表す動詞ですが、形容詞として「性根が悪い」「意地が悪い」などの意味を表せます。

Between you and me, I think he is mean.
（ここだけの話、彼は心根が悪いと思う。）
※ between you and me（ここだけの話、内緒だけど、など）

nasty
性根が悪い

nasty も「性根が悪い」「意地が悪い」などの意味を表す形容詞ですが、「不潔な」「汚い」といった意味も表現できます。

She is nasty, so you should be careful.
（彼女は心根が悪いから、気をつけた方がいいよ。）

侮辱されたので、二度と口をきかないつもり を英語で教えて!

I was disrespected by them so I’m not gonna talk to them again.
侮辱されたので、二度と口をきかないつもり。

disrespect は「侮辱する」「軽蔑する」などの意味を表す動詞になります。（日本の流行り言葉「ディスる」の語源になります。）また、gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
※ちなみに talk は「話す」という意味を表す動詞ですが、もう少し詳しく言うと「話し合う」という意味を表す表現になります。

I was disrespected many times by him so I’m not gonna talk to him again.
（彼には何度も侮辱されたので、二度と口をきかないつもり。）

火災が起きた！ を英語で教えて!

A fire has happened!
火災が起きた！

fire は「火」や「火事」「火災」などの意味を表す名詞ですが、スラングで「（ポジティブな意味の）ヤバい」「イケてる」などの意味を表せます。
※this is fire（これ、ヤバいね）のように使われます。

Oh my gosh! The cord caught fire and a fire has happened!
（大変！コードから火が出て火災が起きた！）

A fire has occurred!
（火災が起きた！すぐに外に出ろ！）

A fire has occurred!
火災が起きた！

occur は「起きる」という意味を表す動詞ですが、happen と比べて、固いニュアンスがある表現になります。

A fire has occurred! Get outside immediately!
（火災が起きた！すぐに外に出ろ！）

関係をスッパリ断ち切りたい を英語で教えて!

I wanna end the relationship completely.
関係をスッパリ断ち切りたい。

want to（wanna は want to を略したスラング表現になります。）は、直接的なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、end は「終わり」「最後」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「終わらせる」「終える」などの意味を表せます。
※ relationship は「関係」という意味を表す名詞ですが、よく「恋愛関係」という意味でも使われます。

He has betrayed me many times so I wanna end the relationship with him completely.
（彼には何度も裏切られたので、関係をスッパリ断ち切りたい。）

I would like to cut ties completely.
関係をスッパリ断ち切りたい。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、cut ties は「関係を切る」「縁を切る」などの意味を表す表現です。

If possible, I would like to cut ties with him completely.
（出来ることなら、彼との関係をスッパリ断ち切りたい。）

保守的だと自覚してます を英語で教えて!

I know I'm conservative.
保守的だと自覚してます。

know は「知る」「知っている」などの意味を表す動詞なので、I know I'm 〜 で「私は〜だと知っている」「自覚している」という意味を表せます。また、conservative は「保守的な」「伝統的な」などの意味を表す形容詞ですが、「古くさい」というような意味で使われることもあります。

I know I'm conservative, but could you consider it?
（保守的だと自覚してます、でも検討していただけませんか？）

I realize that it’s conservative.
保守的だと自覚してます。

realize は「気付く」「自覚する」などの意味を表す動詞ですが、感覚的にではなく、「頭で考えて理解する」というニュアンスの表現です。

To be honest, I realize that it’s conservative.
（正直言うと、保守的だと自覚してます。）