Ken

誰かに家業を継いでもらいたい を英語で教えて!

We would like someone to take over the family business.
誰かに家業を継いでもらいたい。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」を表わす表現になります。また、take over は「継ぐ」「引き継ぐ」などの意味を表す表現ですが、「奪う」「買収する」などの意味も表せます。
※ business は「仕事」「事業」などの意味を表す名詞ですが、「私事」「やるべきこと」などの意味でも使われます。
※ family business（家業、同族会社、など）

We don't have any children, so we would like someone to take over the family business.
（私たち夫婦に子供はいないので、誰かに家業を継いでもらいたい。）

歌は人間関係を促進する を英語で教えて!

Songs promote relationships.
歌は人間関係を促進する。

promote は「昇格させる」「進級させる」などの意味を表す動詞ですが、「促進する」「助長する」などの意味も表せます。（「販売を促進する」という意味でよく使われます。）また、relationship は「関係」「人間関係」などの意味を表す名詞ですが、よく「恋愛関係」という意味でも使われます。

Songs promote relationships. Do you wanna go to karaoke?
（歌は人間関係を促進するよ。カラオケ行く？）

Songs facilitate relationships.
歌は人間関係を促進する。

facilitate は「促進する」や「楽にする」などの意味を表す動詞になります。

It’s my theory, but songs facilitate relationships.
（私の持論だが、歌は人間関係を促進する。）

年内に入籍をする を英語で教えて!

We get married officially by the end of the year.
年内に入籍をする。

get married は「結婚する」という意味を表す表現なので、「正式に」「公式に」という意味を表す副詞 officially を加えると、「正式に結婚する」「（婚姻届を出すという意味の）入籍する」のニュアンスを表せます。また、end は「終わり」「最後」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「終わる」「終わらせる」などの意味を表せます。

Just between you and me, we are gonna get married officially by the end of the year.
（ここだけの話ですが、年内に入籍をすることにしました。）
※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

これは虐めだ！何とかしないと！ を英語で教えて!

This is bullying! We have to do something!
これは虐めだ！何とかしないと！

bullying は「いじめ」という意味を表す名詞になります。（bully で「いじめる」という意味を表せます。）また、have to は「〜しなければならない」「〜しないと」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。
※do は「する」「やる」などの意味を表す動詞ですが、「やり遂げる」「成し遂げる」といった意味でも使われます。（ちなみに doer と言うと「行動家」「やり手」などの意味を表せます。）

This is bullying! We have to do something! What do you think we should do?
（これは虐めだ！何とかしないと！どうしたらいいと思う？）

突飛な行動 を英語で教えて!

eccentric behavior
突飛な行動

eccentric は「突飛な」「変わった」「奇抜な」などの意味を表す形容詞になります。また、behavior は「行動」「振る舞い」「（目に見える）態度」などの意味を表す名詞です。

Due to side effects of the medication, he may take eccentric behaviors, so please keep an eye on him.
（薬の副作用により、突飛な行動をすることがあるので様子を見て下さい。）

outlandish action
突飛な行動

outlandish も「突飛な」という意味を表す形容詞ですが、こちらは「外国風な」という意味も表せます。また、action も「行動」という意味を表す名詞ですが、こちらは「活動」という意味でも使われます。

Please refrain from any outlandish actions!
（突飛な行動は控えなさい！）