Ken

そろばんと暗算 を英語で教えて！

「そろばん」は英語で abacus
「暗算」は 英語で mental arithmetic と言います。
※ちなみに「電卓」は calculator です。
なので「そろばんを習っていたおかげで暗算が得意です。」は英語で I learned the abacus, so I'm good at mental arithmetic. になります。

または I am good at mental arithmetic because I learned the abacus. のように順序を逆にすれば状況によって強調する部分を変えれます。

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなことより を英語で教えて！

「そんなことより」は英語で than that や aside from that で表現できます。
"もっと重要なことがある"というニュアンスを強めするするなら more importantly もオススメです。

Rather than that, I have to prepare materials for next week's business negotiations with our business partners.
（そんなことより来週の取引先との商談の資料を準備しなくちゃいけない。）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなに遅くまで起きて何しているの？ を英語で教えて！

「そんなに遅くまで起きて何してるの？」は英語で What are you doing staying up so late? になります。
「何のために起きてるの？」というニュアンスなら Why are you up so late? という感じに。
「夜ふかしして何がしたいの？」という感じなら What do you want to do staying up so late?

The light in the room was on all night , what were you doing until morning?
（部屋の電気ずっと付いてたけど朝まで何してたの？）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなに落ち込まないで を英語で教えて！

「そんなに落ち込まないで」は英語で don't be so depressed で表現できます。
少しニュアンスは変わりますが "No big deal. Cheer up "も同様のシチュエーションで使えると思います。
「それ重く捉えすぎ」って雰囲気で "Don't take too seriously" もオススメです。

It's not just your mistake, so don't be so depressed.
（あれは君だけのミスってわけじゃないんだから、そんなに落ち込まないでいいよ。）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなはずはない を英語で教えて！

「そんなはずはない」は英語で there's no way や that's not the case , no such thing などで言い表せます。
※No way だけでも大丈夫です。

He explained to me a new dogma that would overturn past history, but that's not the case.
（彼は私に過去の歴史をひっくり返すような新たな定説を説明したが、そんなはずはない。）

ご参考にしていただけたら幸いです。