Ken

そんなに遅くまで起きて何しているの？ を英語で教えて！

「そんなに遅くまで起きて何してるの？」は英語で What are you doing staying up so late? になります。
「何のために起きてるの？」というニュアンスなら Why are you up so late? という感じに。
「夜ふかしして何がしたいの？」という感じなら What do you want to do staying up so late?

The light in the room was on all night , what were you doing until morning?
（部屋の電気ずっと付いてたけど朝まで何してたの？）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなに落ち込まないで を英語で教えて！

「そんなに落ち込まないで」は英語で don't be so depressed で表現できます。
少しニュアンスは変わりますが "No big deal. Cheer up "も同様のシチュエーションで使えると思います。
「それ重く捉えすぎ」って雰囲気で "Don't take too seriously" もオススメです。

It's not just your mistake, so don't be so depressed.
（あれは君だけのミスってわけじゃないんだから、そんなに落ち込まないでいいよ。）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんなはずはない を英語で教えて！

「そんなはずはない」は英語で there's no way や that's not the case , no such thing などで言い表せます。
※No way だけでも大丈夫です。

He explained to me a new dogma that would overturn past history, but that's not the case.
（彼は私に過去の歴史をひっくり返すような新たな定説を説明したが、そんなはずはない。）

ご参考にしていただけたら幸いです。

そんな後ろ向きのことを言っても意味ないじゃん を英語で教えて！

「後向き」は 英語で negative thinking や negative attitude , negativity などで表現できると思います。

「意味ない」は英語で meaningless や no point などで言い表せるので

I don't think there's any point in continuing with such a negative attitude.
（そんなネガティブな態度を続けていては意味がないと思います。）

ご参考にしていただけたら幸いです。

呆然とする を英語で教えて！

「呆然とする」は英語で be stunned や be astonished で言い表すことができます。
Stargazing も「放心状態」というような意味なのでこちらで表現することもできると思います。

He stood stunned by the sudden accidental death of his longtime best friend.
（彼は長年の親友の突然の事故死に呆然として立ち尽くした。）

The sudden crash in the stock market astonished him.
（突然の株の暴落に彼は呆然とした。）

ご参考にしていただけたら幸いです。