Ken

力を尽くすよ を英語で教えて!

I'm gonna do my best.
力を尽くすよ。

gonna は going to を略した形のスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず頻繁に使われる表現になります。また、do one's best で「全力を尽くす」「ベストを尽くす」という意味を表せますが、少し控えめなニュアンスがあります。

Thank you. I'm gonna do my best.
（ありがとうございます。力を尽くすよ。）

I'll give my best shot.
全力を尽くすよ。

give one's best shot も「全力を尽くす」「全力で頑張る」という意味で、よく使われるフレーズになります。

I'll give my best shot without thinking too much.
（あまり考え過ぎずに、全力を尽くすよ。）

良識がある を英語で教えて!

sensible
良識がある

sensible は「良識がある」「懸命な」などの意味を表す形容詞になります。

Please have sensible behaviors at drinking parties.
（飲み会では、良識ある行動をしてください。）

having common sense
良識がある

common sense は「良識」「常識」などの意味を表す名詞になります。（common は「一般的な」「共通の」などの意味を表す形容詞です。）

He's a person having common sense, so I don't think it's a problem.
（彼は良識がある人なので、問題ないと思います。）

隙間を広げる を英語で教えて!

widen the gap
隙間を広げる

widen は「広げる」、自動詞としては「広がる」や「拡張する」などの意味を表す動詞になります。また、gap は「隙間」「割れ目」などの意味を表す名詞ですが、「（意識などの）ズレ」というような意味でも使えます。

You can’t unless you widen the gap.
（隙間を広げないと無理だね。）

expand the gap
隙間を広げる

expand も「広げる」という意味を表せますが、物理的な意味だけでなく、「（活動分野などを）広げる」というような意味でも使えます。

We need to expand the gap. I'll go get the tools.
（隙間を広げる必要があるな。工具を取ってくるわ。）

明日買い物にいこうよ を英語で教えて!

Let's go shopping tomorrow.
明日買い物に行こうよ。

shopping は名詞として、「買い物」「ショッピング」といった意味を表します。

Let's go shopping tomorrow. There's something I want to get.
（明日買い物に行こうよ。買いたいものがあるんだ。）
※カジュアルなニュアンスにはなりますが、「買う」は get で表現されることもあります。

Let's shop tomorrow.
明日買い物に行こうよ。

shop は「（販売や製造、加工などを行う）店」という意味の名詞ですが、動詞として「買い物する」という意味も表せます。

It seems like the weather will be nice, so let's shop tomorrow.
（天気良いみたいだから、明日買い物に行こうよ。）

料理の腕を上げたい を英語で教えて!

I want to improve my cooking skills.
料理の腕を上げたい。

want to 〜 は直接的なニュアンスの「〜したい」を表現するフレーズになります。また、improve は「上達する」「改善する」などの意味を表す動詞です。
※ちなみに skill は「技術」「腕前」などの意味を持つ名詞ですが、「訓練などによって身に付けた技術」というニュアンスがあります。

I like cooking, so I want to improve my cooking skills.
（私は料理が好きなので、料理の腕を上げたい。）

I would like to be a better cook.
料理の腕を上げたい。

would like to 〜 は丁寧なニュアンスの「〜したい」を表すフレーズになります。また、good cook は「良いコック（料理人）」という意味の言葉ですが、be a good cook は「料理が上手い」という意味でよく使われます。

I would like to be a good cook, what should I do?
（料理の腕を上げたいのですが、どうしたらいいでしょうか？）