Ken

彼女の料理は地元の食材を生かしている を英語で教えて!

Her dishes make use of local ingredients.
彼女の料理は地元の食材を生かしている。

dish は「お皿」という意味を表す名詞ですが、「（お皿に乗った）料理」という意味も表せます。また、make use of 〜 で「〜を生かす」「〜を上手く使う」といった意味を表現できます。

Her dishes make use of local ingredients. That's why it’s tasty.
（彼女の料理は地元の食材を生かしている。だから美味しんだ。）

Her cuisines make use of local ingredients.
彼女の料理は地元の食材を生かしている。

cuisine も「料理」という意味を表す名詞ですが、こちらは「地域の料理」というニュアンスのある表現になります。

Her cuisines make use of local ingredients. I can recommend you.
（彼女の料理は地元の食材を生かしています。オススメですよ。）

反社会的勢力 を英語で教えて!

antisocial force
反社会的勢力

antisocial は「非社交的な」「人付き合いの悪い」という意味を表す形容詞ですが、「反社会的な」という意味も表せます。（anti は接頭辞として「反対」「対抗」などの意味を表します。）また、force は「力」という意味を表す名詞ですが、「勢力」「部隊」などの意味でも使われます。
※ force は、動詞として「強いる」「強制する」などの意味も表せます。

In Japan, people from antisocial forces are not allowed to take hot springs.
（日本では、温泉に反社会的勢力の人は入れません。）

彼の映画は感動的なラブストーリー を英語で教えて!

His movie is a touching love story.
彼の映画は感動的なラブストーリー。

movie は「映画」という意味を表す名詞ですが、「娯楽映画」というニュアンスがある表現になります。また、touching は「感動的な」や「感動させる」などの意味を表す形容詞です。

His movie is a touching love story. Have fun.
（彼の映画は感動的なラブストーリーです。お楽しみください。）

His film is a moving love story.
彼の映画は感動的なラブストーリー。

film も「映画」という意味を表せる名詞ですが、こちらは、記録的価値の高い映画や芸術的価値の高い映画に対して使われる傾向がある表現になります。また、moving も「感動的な」という意味を表す形容詞ですが、こちらは（ネガティブなニュアンスの）「心が揺れる」という意味を表すこともできます。

His film is a moving love story. I can recommend you.
（彼の映画は感動的なラブストーリーです。オススメです。）

美文字 を英語で教えて!

beautiful handwriting
美文字

beautiful は「美しい」「綺麗な」という意味を表す形容詞になります。また、handwriting は「手書き」や「手書き文字」などの意味を表す形容詞になります。

I’ve gone to a brush pen class so I got beautiful handwriting!
（筆ペン教室に通ったから、美文字になったの！）

beautiful letter
美文字

letter は「手紙」という意味を表す名詞ですが、「文字」という意味も表せます。

My grandmother's letters are beautiful letters.
（私の祖母の字は美文字なんです。）

副業禁止 を英語で教えて!

side jobs are prohibited
副業禁止

side job は「副業」という意味を表す表現になります。また、prohibited は「禁止されている」という意味を表す形容詞です。

Side jobs are prohibited in my company.
（私の会社は副業禁止です。）

we can’t have side jobs
副業禁止

we can't は「私達は出来ない」という意味を表すフレーズですが、よく「〜は禁止」という意味で使われます。

We can’t have side jobs. Please note that.
（副業禁止になります。ご承知おきください。）