Ken

宿題に手を付ける を英語で教えて!

start the homework
宿題に手を付ける

start は「始める」という意味を表す動詞なので、「手を付ける」「着手する」などの意味でも使えます。（名詞として「始まり」「開始」などの意味も表せます。）また、homework は「宿題」「自習」などの意味を表す名詞です。

He left without starting his homework.
（宿題に手を付けず行ってしまった。）

begin the homework
宿題に手を付ける

begin も start と同じく、「始める」「手を付ける」などの意味を表せる動詞ですが、こちらは start より少し固いニュアンスがあります。

I began my homework, but it was too difficult, so I stopped.
（宿題に手を付けたが、難し過ぎたので、止めた。）

従業員に対する責任がある を英語で教えて!

I have a responsibility for my employees.
従業員に対する責任がある。

responsibility は「責任」「義務」などの意味を表す名詞ですが、「負担」という意味で使われることもあります。

Managers have a responsibility for the life of their employees and their families.
（経営者には、従業員たちとその家族の生活に対する責任があるんだよ。）

I’m responsible for my employees.
従業員に対する責任がある。

responsible の場合は、「責任がある」「信頼できる」などの意味を表す形容詞になります。

No way. I’m responsible for my employees.
（とんでもない。私には従業員に対する責任があるんだ。）
no way は「とんでもない」「ありえない」などの意味を表すスラング表現になります。

手を着ける を英語で教えて!

start
手を着ける

start は「始める」という意味を表す動詞ですが、「手を着ける」「着手する」などの意味も表せます。また、名詞として「開始」「始まり」などの意味を表現できます。

Basically I can't start unless they decide on a design.
（基本的に、デザインが決まらないと手を着けれないんで。）

begin
手を着ける

begin は、start と同様に、「始める」「手を着ける」などの意味を表現できますが、多少、start より固いニュアンスになります。

If the client gives permission, we can begin it.
（クライアントの許可が下りれば、手を着けれます。）

手を煩わす を英語で教えて!

give you trouble
手を煩わす

give は「与える」という意味を表す動詞ですが、「物」に対してだけでなく「行為」などに対しても使えます。また、trouble は名詞として「面倒」「迷惑」などの意味を表せるので、give you trouble で「面倒を与える」＝「手を煩わす」という意味を表現できます。

To be honest, I don't want to give everyone trouble too much.
（正直言って、あまりみんなの手を煩わせたくないな。）

bother
手を煩わす

bother は「煩わす」「悩ます」「邪魔をする」などの意味を表す動詞で、よく I'm sorry to bother you.（お忙しいところすみません。）という使い方をされます。

In this case, I don't think we need to bother him.
（この場合、彼の手を煩わす必要はないと思います。）

手土産を持って行かなくてもいいですか？ を英語で教えて!

Don't I have to bring a gift?
手土産を持って行かなくてもいいですか？

have to は「〜しなければならない」という意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。また、gift（贈り物、プレゼント、など）で「手土産」という意味を表せます。（souvenir と言うと「（旅行などの）お土産」というニュアンスになります。）
※ちなみに gift は「才能」「特別な才能」などの意味で使われることもあります。

By the way, don't I have to bring a gift?
（ちなみに、手土産を持って行かなくてもいいですか？）
※by the way（ちなみに、ところで、など）

Don't I need to bring a gift?
手土産を持って行かなくてもいいですか？

need to も「〜しなければならない」という意味を表せる表現ですが、こちらは have to に比べて、主観的なニュアンスのある表現になります。

In this case, don’t I need to bring a gift?
（この場合、手土産を持って行かなくてもいいですか？）