Ken

お前、調子のってんじゃねえよ を英語で教えて!

Don't be carried away.
お前、調子のってんじゃねえよ。

be carried away は「流される」「夢中になる」などの意味を表す表現ですが、「調子にのる」「図にのる」などの意味でも使われます。

Don't be carried away. You should be more humble.
（お前、調子乗ってんじゃねぇよ。もっと謙虚になれ。）

Don't get cocky.
お前、調子になってんじゃねえ。

cocky は「自惚れた」「調子にのった」などの意味を表す形容詞になります。

What the hell are you saying? Don't get cocky.
（何を言ってんだ？お前、調子にのってんじゃねえ。）
※what the hell 〜 とすると、相手を非難するようニュアンスを表せます。

急に停電があった を英語で教えて!

The power outage occurred suddenly.
急に停電があった。

power outage で「停電」という意味を表せます。（power は「力」という意味を表す名詞ですが、「電力」という意味を表せます。）また、occurr は「起こる」「発生する」などの意味を表す動詞です。
※suddenly は「急に」「突然」などの意味を表す副詞になります。

I’m sorry. The power outage occurred suddenly.
（失礼しました。急に停電がありました。）

The sudden power outage happened.
急に停電がありました。

sudden は「急な」「突然の」などの意味を表す形容詞になります。また、happen も「起こる」という意味を表す動詞ですが、occurr に比べて、カジュアルなニュアンスになります。

The sudden power outage happened. It's fine now.
（急に停電がありました。今は大丈夫です。）

もううまくいかないよ を英語で教えて!

We are gonna work out anymore.
もううまくいかないよ。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、work out は「トレーニングする」「筋トレする」などの意味を表す表現ですが、「うまくいく」「何とかなる」「解決する」などの意味も表せます。

Unfortunately, we are gonna work out anymore. We should break up.
（残念ながら、私達もううまくいかないよ。別れた方がいい。）
※break up は「バラバラにする」「解体する」などの意味を表す表現ですが、（カップルが）「別れる」「破局する」などの意味でも使われます。

彼女に話さないと を英語で教えて!

I have to tell her.
彼女に話さないと。

have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。また、tell は「話す」「教える」などの意味を表す動詞ですが、「（想いや知っていることなどを）伝える」という意味を表す表現になります。

Unfortunately, I have to tell her about this.
（残念だけど、このことを彼女に話さないと。）

I need to tell her.
彼女に話さないと。

need to も「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、こちらは have to に比べて、主観的ニュアンスが強めな表現になります。

I don't want to lie. I need to tell her.
（嘘はつきたくない。彼女に話さないと。）

丁寧に書いて を英語で教えて!

You should write carefully.
丁寧に書いて。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、「〜して」「〜しよう」といった意味も表せます。また、write は「書く」「記す」などの意味を表す動詞ですが、「作曲する」という意味で使われることもあります。
※carefully は「丁寧に」「注意深く」などの意味を表す副詞です。

Your handwriting is bad. You should write carefully.
（字が汚いよ。丁寧に書いて。）

Please write carefully.
丁寧に書いて。

please は、丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現なので、こちらの場合、少し上から目線な感じの表現になります。

Please write carefully as I’d like to use it as a meeting document.
（会議の資料として使いたいから、丁寧に書いて。）