Ken

事情を説明して了解を得る を英語で教えて!

explain the situation and gain one's approval
事情を説明して了解を得る

explain は「説明する」「解説する」などの意味を表す動詞になります。また、approval は「了解」「承認」などの意味を表す名詞ですが、「好意」という意味で使われることもあります。

You should explain the situation and gain their approval definitely. Don't do it selfishly.
（絶対に事情を説明して了解を得た方がいい。勝手にはやらないで。）

explain the circumstances and get one's approval
事情を説明して了解を得る

circumstance は「状況」という意味を表す名詞ですが situation と比べて、少し固いニュアンスになります。

I will explain the circumstances and get his approval, so please wait.
（事情を説明して彼の了解を得るので、待っていなさい。）

何かを感じ取ってる を英語で教えて!

They noticed something.
何かを感じ取ってる。

notice は「気付く」という意味を表す動詞ですが、「五感で気付く」「感覚的に気付く」という「感じ取る」に近いニュアンスを持つ表現になります。また、something は「何か」という意味を表す代名詞ですが、「重要なこと」「重要な人」などの意味で使われることもあります。

My dog ​​hasn't come near me today. He noticed something.
（犬が今日は近寄ってこない。何かを感じ取ってる。）

They sense something.
何を感じ取ってる。

sense は「感覚」「意識」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「感じ取る」「察する」などの意味を表せます。

I think they sense something.
（たぶん、彼等は何かを感じ取ってる。）

朝のうちに運動をしておかないと！ を英語で教えて!

I have to exercise in the morning!
朝のうちに運動をしておかないと！

have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスを持つ表現になります。また、exercise は「運動する」「鍛える」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「運動」「練習」などの意味も表せます。

I'm often busy at night, so I have to exercise in the morning!
（夜は忙しいことが多いので、朝のうちに運動をしておかないと！）

I need to work out in the morning!
朝のうちに運動をしておかないと！

need to も「〜しなければならない」という意味を表す表現ですが、こちらは have to に比べて、主観的なニュアンスの表現になります。また、work out は「運動する」「筋トレする」などの意味を表す表現ですが、「うまくいく」という意味も表せます。

I'm always tired at night, so I need to work out in the morning!
（夜はいつも疲れているので、朝のうちに運動をしておかないと！）

怒り狂う を英語で教えて!

get enraged
怒り狂う

enrage は「めちゃくちゃ怒らせる」「激怒させる」などの意味を表す動詞なので、get enraged で「激怒する」「怒り狂う」などの意味を表せます。

My husband got enraged because our son lied.
（息子が嘘をついたので、夫は怒り狂った。）

get furious
怒り狂う

furious は「怒り狂った」「激怒した」などの意味を表す形容詞になります。

If the manager finds out about this, he will get furious definitely.
（部長がこのこと知ったら、間違いなく怒り狂うよ。）

規則で鍵を開けれないことになっています を英語で教えて!

We can't open the locks by the regulations.
規則で鍵を開けれないことになっています。

we can't 〜 は「私達は〜できない」という意味を表す表現ですが、よく「〜は禁止です」というニュアンスでも使われます。また、lock は「錠前」「輪止め」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「鍵をかける」「閉じ込める」などの意味を表せます。
※ regulation は「規則」「規定」などの意味を表す名詞です。

I’m sorry, but we can't open the locks by the regulations.
（申し訳ございませんが、私どもは、規則で鍵を開けれないことになっています。）

We can’t open the locks by the rules.
規則で鍵を開けれないことになっています。

rule も「規則」という意味を表す名詞ですが、こちらは regulation に比べて、拘束力の低いニュアンスがあります。

Unfortunately, we can’t open the locks by the rules.
（残念ながら、規則で鍵を開けれないことになっています。）