Ken

早く立ち直らなきゃいけない を英語で教えて!

You have to recover quickly.
早く立ち直らなきゃいけない。

have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。また、recover は「立ち直る」「回復する」などの意味を表す動詞ですが、「償う」という意味も表せます。

You're the leader of the team, so you have to recover quickly.
（君はチームのリーダーだから、早く立ち直らなきゃいけないよ。）

You need to get back on your feet fast.
早く立ち直らなきゃいけない。

need to も「〜しなければならない」という意味を表す表現ですが、have to と比べて、主観的なニュアンスの表現になります。また、get back on one's feet は「立ち直る」「回復する」「やり直す」などの意味を表すイディオムになります。

The deadline is next week, so you need to get back on your feet fast.
（締め切りは来週だから、早く立ち直らなきゃいけないよ。）

希望が持てない を英語で教えて!

I have no hope.
希望が持てない。

have no とすると don't have とするより「ない」ということを強調したニュアンスにすることができます。また、hope は「希望」「望み」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「希望する」「望む」などの意味も表せます。

I have no hope in this company, so I'm quitting.
（この会社では希望が持てない、だから辞めるよ。）

There is no hope in my mind.
希望が持てない。

To be honest, there is no hope in my mind.
（正直言って、希望が持てない。）

there is 〜 や there are 〜 は、「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。

次は何？ を英語で教えて!

What's next?
次は何？

what は「なに？」という意味を表す疑問詞ですが、感嘆詞として「なんて〜」というような意味でも使われます。また、next は「次の」という意味を表す形容詞ですが、「今度の」「隣の」などの意味も表せます。

What's next? What do you want me to do?
（次は何？何をしてほしいの？）

What comes next?
次は何？

What comes next? は「次は何が来る」「次は何が起こる」などの意味を表すフレーズになります。

What comes next? It doesn't make sense.
（次は何？意味がわからないよ。）

このニュースは公式だよ を英語で教えて!

This news is official.
このニュースは公式だよ。

news は「ニュース」「知らせ」「情報」などの意味を表す名詞ですが、不可算名詞になります。また、official は「公式の」「正式の」などの意味を表す形容詞ですが、名詞として「公務員」「役人」「職員」「役員」などの意味を表せます。

Not a problem, this news is official.
（問題ない、このニュースは公式だよ。）

This news is formal.
このニュースは公式だよ。

formal も「公式の」「正式の」などの意味を表す形容詞ですが、こちらは「儀礼的な」という意味も表せます。

What the hell are you saying? This news is formal.
（何言ってんだ。このニュースは公式だよ。）
※what the hell 〜 と言うと、相手を非難するようなニュアンスを表せます。

それは妥当な価格だと思う を英語で教えて!

I think it’s a reasonable price.
それは妥当な価格だと思う。

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、よく「たぶん」「〜かも」といった意味でも使われます。また、reasonable は「妥当な」「合理的な」などの意味を表す形容詞です。
※ price は「値段」「価格」などの意味を表す名詞ですが、prices と複数形にして「物価」という意味で使われることもよくあります。

I don't know the details, but I think it’s a reasonable price.
（詳しくは知らないけど、それは妥当な価格だと思う 。）

I think it’s an appropriate price.
それは妥当な価格だと思う 。

appropriate も「妥当な」や「適切な」「ふさわしい」などの意味を表す形容詞になります。

I think it’s an appropriate price. You're wrong.
（それは妥当な価格だと思う 。君が間違ってる。）