Ken

当店は免税店ではありません を英語で教えて!

We are not a duty-free store.
当店は免税店ではありません。

duty-free は「免税の」「無税の」などの意味を表す形容詞になります。また、store は「店」という意味を表す名詞ですが、「販売のみを行う店」に対して使われる表現になります。

Sorry, we are not a duty-free store.
（申し訳ありません、当店は免税店ではありません。）

We are not a duty-free shop.
当店は免税店ではありません。

shop も「店」という意味を表す名詞ですが、こちらは「販売に加えて、加工や製造なども行う店」というニュアンスの表現になります。

Unfortunately, we are not a duty-free shop.
（残念ながら、当店は免税店ではありません。）

そんな言い訳受け入れられないよ を英語で教えて!

I can't accept that excuse.
そんな言い訳受け入れられないよ。

accept は「受け入れる」「同意する」などの意味を表す動詞ですが、「快く受け入れる」というニュアンスがあります。また、excuse は「言い訳」「口実」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「許す」という意味も表せます。

What the hell are you saying? I can't accept that excuse.
（何言ってんの？そんな言い訳受け入れられないよ。）
※what the hell 〜 とすると、相手を非難するようなニュアンスを表現できます。

I'm unable to accept that excuse.
そんな言い訳受け入れられないよ。

「できない」は can't で表現されることが多いのですが、（固いニュアンスにはなりますが）be unable to でも表現できます。（「能力的にできない」ではなく、「一時的にできない」というニュアンスがあります。）

No way. I'm unable to accept that excuse.
（ありえない。そんな言い訳受け入れられないよ。）
※no way は「ありえない」「とんでもない」などの意味を表すスラング表現になります。

まったく意味が分かりません を英語で教えて!

I don't know at all.
まったく意味が分かりません。

I don't know は「わからない」「知らない」などの意味を表す代表的な表現ですが、少し素っ気ないニュアンスもある表現なので、言い方や状況によっては「知ったことじゃない」というニュアンスにもなります。また、at all は、否定文と共に使うと「まったく〜ない」「完全に〜ない」という意味を表します。

Sorry, I don't know at all. Would you explain it again?
（ごめんなさい、まったく意味が分かりません。もう一度説明してもらえますか？）

I have no idea.
まったく意味が分かりません。

I have no idea も「わからない」という意味を表す表現ですが、こちらは「まったくわからない」「見当もつかない」というようなニュアンスの表現になります。
※have no とすると、don't have とするより、「ない」ということを強調したニュアンスにできます。

Honestly, I have no idea. What are you talking about?
（正直言って、まったく意味が分かりません。何を言ってるんですか？）

勉強で遅れをとりたくない を英語で教えて!

I don't wanna fall behind in the studies.
勉強で遅れをとりたくない。

want to（wanna は want to を略したスラング表現になります。）は、直接的なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、fall behind は「遅れる」「遅れを取る」「後退する」などの意味を表す表現です。

I'm going. I don't wanna fall behind in the studies.
（行くよ。勉強で遅れをとりたくない。）

I wouldn’t like to fall behind in the studies.
勉強で遅れをとりたくない。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。

I’m competitive, so I wouldn’t like to fall behind in the studies.
（私は負けず嫌いなので、勉強で遅れをとりたくないんです。）

ペットの同伴はご遠慮ください を英語で教えて!

Could you refrain from coming in with pets?
ペットの同伴はご遠慮ください。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜していただけますか？」などの意味を表す表現になります。また、refrain from 〜 で「〜を遠慮する」「〜を控える」などの意味を表せます。
※pet は「ペット」という意味を表す名詞ですが、「お気に入り」という意味で使われたりもします。

I'm sorry, could you refrain from coming in with pets?
（すみません、ペットの同伴はご遠慮ください。）

Please refrain from coming in with pets.
ペットの同伴はご遠慮ください。

please は「〜してください」という意味を表す丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含む表現になるので、少し上から目線な感じが出ます。

As per the rules, please refrain from coming in with pets.
（ルールなので、ペットの同伴はご遠慮ください。）