Ken

どこかお怪我されせているところはございますか？ を英語で教えて!

Do you have any place where you've been injured?
どこかお怪我されせているところはございますか？

injure は「怪我させる」「傷付ける」などの意味を表す動詞ですが、身体的な意味だけでなく、抽象的な意味でも使われます。

Just to confirm, do you have any place where you've been injured?
（確認なのですが、どこかお怪我されせているところはございますか？）

Are there any injuries anywhere with your body?
どこかお怪我されせているところはございますか？

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。

By the way, are there any injuries anywhere with your body?
（ちなみに、どこかお怪我されせているところはございますか？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

恐らく夜通し起きているんだろうな を英語で教えて!

I think they stay up all night.
恐らく夜通し起きているんだろうな

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、よく「たぶん」「恐らく」などの意味でも使われます。また、stay up は「遅くまで起きている」「徹夜する」などの意味を表す表現です。

I think she stays up all night. I'm worried.
（恐らく夜通し起きているんだろうな。心配だ。）

I guess they stay up all night.
恐らく夜通し起きているんだろうな。

I guess（私は推測する、私は思う、など）も、「たぶん」「恐らく」などのニュアンスを表せますが、I think に比べて、確信度の低いニュアンスになります。

I don't know well, but I guess he stays up all night.
（よくわからないけど、恐らく夜通し起きているんだろうな。）

この宮殿、世界遺産なんだって！ を英語で教えて!

I heard that this palace is a world heritage!
この宮殿、世界遺産なんだって！

I heard that 〜 で「〜って聞いた」「〜なんだって」という意味を表せます。（hear は「聞く」という意味を表す動詞ですが、「自然と耳に入る」というニュアンスを持つ表現になります。）また、palace は「宮殿」「城」などの意味を表す名詞ですが、castle（城）と違い、「敵に攻め込まれることを想定して作られている城」ではありません。
※ heritage は「遺産」「伝統」などの意味を表す名詞です。

I don’t know well, but I heard that this palace is a world heritage!
（よくわからないけど、この宮殿、世界遺産なんだって！）

大聖堂を観るのは初めて！ を英語で教えて!

It's my first time seeing the cathedral!
大聖堂を観るのは初めて！

see は「見る」という意味を表す動詞ですが、「視界に入る」というニュアンスがある表現になります。また、「（映画館で映画を）見る」「（観光名所などを）観る」という際にもよく使われます。
※ cathedral は「大聖堂」「司教座教会」などの意味を表す名詞です。

Awesome! It's my first time seeing the cathedral!
（すごいな！大聖堂を観るのは初めて！）

It’s my first time looking at the cathedral!
大聖堂を観るのは初めて！

look も「見る」という意味を表す動詞ですが、こちらは「意識して見る」というニュアンスがある表現になります。

It’s my first time looking at the cathedral! How magnificent!
（大聖堂を観るのは初めて！なんて壮大なんだ！）

何時に空港到着予定？ を英語で教えて!

What time are you gonna arrive at the airport?
何時に空港到着予定？

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、arrive は「到着する」という意味を表す動詞ですが、「成功する」という意味で使われることもあります。

By the way, what is the time difference? What time are you gonna arrive at the airport?
（ちなみに、時差はどれくらい？何時に空港到着予定？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

What time will you get to the airport?
何時に空港到着予定？

get は「手に入れる」という意味を表す動詞ですが、「到着する」という意味も表せます。

What time will you get to the airport? I'll pick you up.
（何時に空港到着予定？迎えに行くよ。）