Ken

またお会いしましょう を英語で教えて!

I would like to see you again!
またお会いしましょう！

would like to 〜 は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、see は「見る（視界に入る）」や「会う」などの意味を表す動詞ですが、「分かる」「理解する」などの意味でも使われます。

Thank you so much for watching! I would like to see you again!
（ご視聴いただきありがとうございました！またお会いしましょう！）

See you later, alligator!
またお会いしましょう！

see you later は「また会いましょう」「またあとで」などの意味を表すカジュアルなニュアンスの別れの挨拶になります。その後に続く alligator（ワニ）は、韻を踏む言葉遊びなので、特に意味はありません。

I had a lot of fun today! See you later, alligator!
（今日はすごい楽しかった！またお会いしましょう！」

ハラハラさせないで を英語で教えて!

Don't make me feel nervous.
ハラハラさせないで。

don't + 動詞の原形で、「〜しないで」という意味を表現できます。（丁寧なニュアンスの please don't 〜 という言い回しもよく使われます。）また、make は「作る」という意味を表す動詞ですが、使役動詞として「〜させる」という意味も表せます。（強制するニュアンスが強めの表現になります。）
※feel nervous で「ハラハラする」「ドキドキする」「緊張する」などの意味を表現できます。

Don't make me feel nervous, tell me what happened next.
（ハラハラさせないで、次に何が起こったか話して。）

伝票をスタッフに渡す を英語で教えて!

hand the check to the staff
伝票をスタッフに渡す

hand は「手」という意味を表す名詞ですが、動詞として「手渡す」「渡す」などの意味も表せます。また、check は「確認」「チェック」などの意味を表す名詞ですが、「伝票」「小切手」などの意味も表せます。
※staff は「複数のスタッフ」を表す集合名詞なので、不可算名詞になります。

When you have finished your meal, could you hand this check to the staff at the entrance?
（お食事がお済の際は、こちらの伝票を入り口のスタッフにお渡しください。）

新しいものをお出ししますね を英語で教えて!

I’m gonna bring a new one.
新しいものをお出しします。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、bring は「持ってくる」「連れてくる」などの意味を表す動詞です。

We have some in stock so I’m gonna bring a new one.
（在庫がございますので、新しいものをお出ししますね。）

I'll bring a new one.
新しいものをお出ししますね 。

will は、未来の行動について表わす助動詞ですが、名詞として「意志」という意味も表せます。

This is a display item, so I'll bring a new one.
（こちらは展示品なので、新しいものをお出ししますね。）

１週間お取り置きできます を英語で教えて!

We can put it on hold for a week.
１週間お取り置きできます。

put 〜 on hold で「〜を取り置きする」「〜を保留にする」などの意味を表せます。

We can put it on hold for a week. What would you like to do?
（当店では１週間お取り置きできます。どういたしますか？）

We can reserve it for a week.
１週間お取り置きできます。

reserve は「予約する」という意味を表す動詞ですが、「取り置きする」という意味でも使えます。

We can reserve it for a week, but not for a month.
（１週間お取り置きできますが、1ヶ月は無理です。）