Ken

賞味期限が近いのでお安くしております を英語で教えて!

The best-by date is approaching, so we’re offering it at a discount.
賞味期限が近いのでお安くしております。

best-by date は「賞味期限」という意味を表す表現になります。（「消費期限」の場合は expiration date と表現できます。）また、discount は「割引き」「値引き」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「割引く」「値引く」などの意味に加えて「軽視する」「無視する」などの意味も表せます。

The best-by date is approaching, so we’re offering it at a discount. I can recommend you.
（賞味期限が近いのでお安くしております。オススメです。）

二重包装いたしますね を英語で教えて!

I’m gonna double wrap it.
二重包装いたしますね。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、double は「二重に」「二倍の」などの意味を表す形容詞ですが、動詞として「二重にする」「二倍にする」などの意味も表せます。
※wrap は「包む」「包装する」「覆う」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「ひざ掛け」や「肩掛け」などの意味でも使われます。

I’m gonna double wrap it so that the plastic bag does not tear.
（レジ袋が切れないように、二重包装いたしますね。）

一緒の袋にいれてもいいですか？ を英語で教えて!

Could I put them in the same bag?
一緒の袋にいれてもいいですか？

could I 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜していいですか？」という意味を表す表現になります。また、put は「置く」「入れる」などの意味を表す動詞ですが、「投資する」という意味で使われることもあります。

If there's no problem, could I put them in the same bag?
（問題なければ、一緒の袋にいれてもいいですか？）

May I put them in the same bag?
一緒の袋にいれてもいいですか？

may I 〜 ? も「〜していいですか？」という意味を表す表現ですが、こちらは could I 〜 ? よりもさらに丁寧なニュアンスになります。

Thank you very much. May I put them in the same bag?
（ありがとうございます。一緒の袋にいれてもいいですか？）

在庫を確認します を英語で教えて!

I'm gonna check the inventory.
在庫を確認します。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、check は「チェックする」「確認する」などの意味を表す動詞ですが、名詞として「チェック」「確認」などの意味に加えて、「小切手」という意味も表せます。

I'm gonna check the inventory so could you wait a moment?
（在庫を確認しますので、少々お待ちくださいませ。）

I'll confirm the stock.
在庫を確認します。

confirm も「確認する」という意味を表す動詞ですが、こちらは「（間違いがないかどうか）確認する」というニュアンスがある表現になります。また、stock は「在庫」という意味を表す名詞ですが、「株」という意味も表せます。

Just in case, I'll confirm the stock.
（念のため、在庫を確認します。）

ようやく審議に入る を英語で教えて!

It’s gonna finally start the deliberation.
ようやく審議に入る。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、finally は「ようやく」「ついに」などの意味を表す副詞ですが、基本的には、ポジティブなニュアンスで使われる表現になります。
※deliberation は「審議」や「熟考」などの意味を表す名詞です。

It took quite a while, but it’s gonna finally start the deliberation.
（かなり時間がかかったが、ようやく審議に入ることになった。）

It will finally begin the deliberation.
ようやく審議に入る。

begin は start と同じく「始まる」「開始する」などの意味を表す動詞ですが、少し start に比べて、固いニュアンスがあります。

I'm glad that it will finally begin the deliberation.
（ようやく審議に入るので、嬉しいです。）