Ken

持ち込みは可能だよ を英語で教えて!

You can bring it in.
持ち込みは可能だよ。

you can 〜 は、「あなたは〜できる」という意味を表す表現ですが、「〜は可能です」という意味でも使えます。（you は「あなた」に加えて、「一般の人々」というような意味でも使われます。）また、bring it in は「持ち込む」「運び込む」などの意味を表す表現ですが、「取り入れる」「輸入する」「迎え入れる」などの意味も表せます。
※ちなみに、スラング的に、bring it on と言うと「かかって来い」「やってやる」みたいな意味を表せます。

You don't have to worry, you can bring it in.
（心配しなくていい、持ち込みは可能だよ。）

何も思い浮かばない を英語で教えて!

Nothing comes to mind.
何も思い浮かばない。

come to mind は「思い浮かぶ」「思い当たる」などの意味を表す表現なので、nothing comes to mind で「思い浮かぶことがない」「何も思い浮かばない」などの意味を表せます。（nothing は「何もない」という意味を表す代名詞ですが、「何もない人」「つまらない人」といった意味で使われることもあります。）
※mind は「心」「精神」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「気にする」「嫌がる」などの意味を表せます。

To be honest, nothing comes to mind.
（正直言って、何も思い浮かばない。）

彼に手伝わせるよ を英語で教えて!

I'm gonna let him help you.
彼に手伝わせるよ。

gonna は going to を略したスラング表現表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、let は使役動詞として「〜させる」という意味を表せます。（柔らかいニュアンスの使役動詞です。）

I got it, I'm gonna let him help you.
（わかった、彼に手伝わせるよ。）

I’ll make him help you.
彼に手伝わせるよ。

make は「作る」「調理する」などの意味を表す動詞ですが、使役動詞として「〜させる」などの意味も表せます。（かなり強めなニュアンスの使役動詞です。）

I got you, I’ll make him help you.
（任せて、彼に手伝わせるよ。）
※ I got you（わかった、任せて、など）

相手に話させる を英語で教えて!

let your partner speak
相手に話させる

let は使役動詞として「〜させる」という意味表しますが、柔らかいニュアンスの表現になります。また、speak は「話す」という意味を表す動詞ですが、「一方的に話す」という意味の「話す」を表す表現です。

It's also important to let your partner speak.
（相手にはなさせることも大事だよ。）

make your partner speak
相手に話させる

make は「作る」「調理する」などの意味を表す動詞ですが、使役動詞として「〜させる」（かなり強めのニュアンス）も表せます。

You have to make your partner speak.
（相手にはなさせる必要があるね。）

犬の散歩中なの を英語で教えて!

I'm walking my dog.
犬の散歩中なの。

walk は「歩く」「散歩する」などの意味を表す動詞になります。（名詞として「歩行」「散歩」などの意味も表せます。）また、dog は「犬」という意味を表す名詞ですが、スラング的に「仲間」「友達」などの意味で使われることもあります。
※walk を使ったスラング表現で、walk in the park（公園の散歩）と言うと「簡単なこと」「容易いこと」などの意味も表せます。

I'm walking my dog. I'm gonna call you later.
（犬の散歩中なの。後でまた電話するよ。）
※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。