Ken

請求書がないと支払えません を英語で教えて!

We can't pay without an invoice.
請求書がないと支払えません。

pay は「払う」「支払う」などの意味を表す動詞ですが、お金に限らず、「（敬意を）払う」「（注意を）払う」などの意味も表せます。また、invoice は「請求書」という意味を表す名詞ですが、「納品書」「送り状」などの意味も表せます。

We can't pay without an invoice. Please send us an invoice.
（請求書がないと支払えません。請求書を送ってください。）

if we don't have bills, we can't pay them.
請求書がないと支払えません。

bill は「請求書」という意味を表す名詞ですが、イギリス英語でよく使われます。

Essentially, if we don't have bills, we can't pay them.
（基本的に、請求書がないと支払えません。）

ムリする必要はないからね を英語で教えて!

「ムリする必要はないからね 。」は、上記のように表現することができます。

have to は客観的なニュアンスの「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、don't have to とすると、「〜しなくてもいい」「〜する必要はない」などの意味を表せます。また、push oneself で、「無理をする」「自分を追い込む」「自分を駆り立てる」などの意味を表す表現になります。

You don’t have to push yourself. You should do it when you have time.
（ムリする必要はないからね。時間がある時にやってくれればいいから。）

日記はいい習慣だよね を英語で教えて!

Keeping a diary is a good habit.
日記はいい習慣だよね。

keep a diary は「日記をつける」「日記を書く」などの意味を表す表現になります。また、good は「良い」「上手い」「美味しい」などの意味を表す形容詞ですが、客観的なニュアンスがある表現です。

Keeping a diary is a good habit. I keep it every day too.
（日記はいい習慣だよね。私も毎日つけてるよ。）

Keeping a diary is a nice habit.
日記はいい習慣だよね。

nice も「良い」という意味を表す形容詞ですが、こちらは good と比べて、主観的なニュアンスが強めの表現になります。

Keeping a diary is a nice habit. How long have you been keeping one?
（日記はいい習慣だよね。いつからつけてるの？）

これは大変な事になりそうだね を英語で教えて!

「これは大変な事になりそうだね。」は、上記のように表現することができます。

it looks like は、「〜そう」「〜みたい」などの意味を表す表現ですが、「目で見た情報から出る感想」になるので、客観的なニュアンスがある表現です。また、gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
※big deal は「大きな契約」「大きな取引」などの意味を表す表現ですが、よく「大変なこと」「大事（おおごと）」などの意味で使われる表現です。

It looks like it’s gonna be a big deal. What should we do?
（これは大変な事になりそうだね。どうしたらいいかな？）

実践で覚えていく を英語で教えて!

「実践で覚えていく。」は、上記のように表現することができます。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、learn は「学ぶ」「勉強する」などの意味を表す動詞ですが、ただ「学ぶ」というより、「学んで、何かを得る」というニュアンスがある表現です。
※ practice は「練習」「訓練」などの意味を表す名詞ですが、「実践」「実地」などの意味も表現できます。

Now that the training period is over, I’m gonna learn in practice from now on.
（研修期間が終わったので、これからは実践で覚えていく。）