Ken

この商品は直送で届く を英語で教えて!

This item is gonna arrive directly.
この商品は直送で届く。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。また、arrive は「届く」「到着する」などの意味を表す動詞ですが、「成功する」という意味で使われることもあります。
※ directly は「直接」「まっすぐ」などの意味を表す副詞です。

This item is gonna arrive directly. Good for you.
（この商品は直送で届くよ。良かったね。）

This product will arrive directly.
この商品は直送で届く。

product は「商品」「製品」などの意味を表す名詞ですが、「（生産者側、販売者側から見た）商品」というニュアンスのあら表現です。

No problem, this product will arrive directly.
（問題ない、この商品は直送で届くよ。）

腕上げたね を英語で教えて!

You've improved your skills.
腕上げたね。

improve は「向上させる」「改善する」などの意味を表す動詞になります。また、skill は「能力」「技術」「腕前」などの意味を表す名詞ですが、「（訓練などで、後天的に身に付けた）能力」というニュアンスがある表現になります。

It was so tasty. You've improved your skills.
（すごく美味しかったよ。腕上げたね。）

You've improved your techniques.
腕上げたね。

technique も「技術」「腕前」などの意味を表す名詞ですが、こちらは skill よりも、より具体的な「技術」というニュアンスです。

You've improved your techniques. Who taught you?
（腕上げたね。誰に教わったの？）

限定品を手に入れた を英語で教えて!

I got the limited edition item.
限定品を手に入れた。

get は「手に入れる」「到着する」などの意味を表す動詞ですが、「〜になる」「（〜してない状態から〜している状態に）変わる」という意味でもよく使われます。また、limited edition は「限定の」「限定版の」などの意味を表す表現です。

I got the limited edition item yesterday. I'm glad extremely.
（昨日、限定品を手に入れた。めちゃくちゃ嬉しい。）

I obtained the limited edition item.
限定品を手に入れた。

obtain も「手に入れる」という意味を表す動詞ですが、こちらは「苦労して手に入れる」というニュアンスがある表現になります。

I went to Tokyo and obtained the limited edition item.
（東京に行って、限定品を手に入れた。）

取引先が倒産したので を英語で教えて!

Our business partner went bankrupt.
取引先が倒産したので。

business は「仕事」「事業」などの意味を表す名詞ですが、「私事」「やるべきこと」などの意味で使われることもあります。また、go bankrupt は「倒産する」「破産する」などの意味を表す表現です。

Our business partner went bankrupt. To be honest, I don't know what to do.
（取引先が倒産したので。正直、どうしたらいいかわからない。）

Our client went bankrupt.
取引先が倒産したので。

client も「取引先」という意味を表す名詞ですが、「顧客」「依頼人」という意味の「取引先」という意味を表す表現です。

Our client went bankrupt. There no hope already.
（取引先が倒産したので。もう希望はないです。）

ノルマも必達目標もない を英語で教えて!

「ノルマも必達目標もない。」は、上記のように表現することができます。

there is 〜 や there are 〜 は「〜がある」という意味を表す表現ですが、基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。 また、quota は「ノルマ」や「割り当て」などの意味を表す表現です。
※ binding は「拘束の」「拘束力のある」「義務の」などの意味を表す形容詞です。

Is it true that there are no quotas or binding targets? It’s fire.
（ノルマも必達目標もないって本当？最高じゃん。）
※fire は「火」「火事」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に「最高な」「（ポジティブな意味の）やばい」などの意味も表せます。