Ken

新しいプロジェクトの件で相談したいです を英語で教えて!

「新しいプロジェクトの件で相談したいです。」は、上記のように表現することができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、talk は「話す（複数人で話し合う）」という意味を表す動詞ですが、「相談する」というニュアンスでも使えます。
※ project は「プロジェクト」「計画」などの意味を表す名詞ですが、「ある程度規模の大きい計画」というニュアンスのある表現になります。

I’m sorry to bother you, but I would like to talk to you about a new project.
（お手数ですが、新しいプロジェクトの件で相談したいです。）

顔色をうかがう を英語で教えて!

worry one's mood
顔色をうかかう

worry は「心配する」「悩む」「気にする」などの意味を表す動詞になります。（非建設的なニュアンスがある表現です。）また、mood は「気分」「機嫌」などの意味を表す名詞です。

I'm tired of having to worry my boss's mood.
（上司の顔色をうかがうのに疲れたんだ。）

be sensitive to one's mood
顔色をうかがう

sensitive は「敏感な」「繊細な」などの意味を表す形容詞ですが、「神経質な」「傷つきやすい」などの意味でも使われます。

He's not a person in charge, so you don’t have to be sensitive to his mood.
（彼は責任者じゃないから、顔色をうかがう必要はないよ。）

ご注文 を英語で教えて!

order
ご注文

order は「注文」「発注」などの意味を表す名詞ですが、「命令」「秩序」などの意味も表せます。また、動詞として「注文する」「発注する」「命令する」などの意味も表せます。

Excuse me, are you ready to make a order?
（失礼します、ご注文はお決まりでしょうか？）

request
ご注文

request は「リクエスト」「要求」「依頼」などの意味を表す名詞ですが、「注文」という意味でも使えます。

If you make a request by the end of this week, we will make it in time.
（今週中にご注文いただければ、間に合います。）

軍事境界線 を英語で教えて!

military demarcation line
軍事境界線

military は「軍の」「軍事的な」「軍隊の」などの意味を表す形容詞ですが、名詞として「軍隊」「軍人」などの意味も表せます。また、demarcation は「境界」「限界」などの意味を表す名詞です。
※line は「線」「列」などの意味を表す名詞ですが、「セリフ」という意味でも使われます。

There's a military demarcation line over there, so please don't go near there.
（向こうには軍事境界線があるので、近づかないでください。）

military demarcation
軍事境界線

demarcation は、単体で「境界線」という意味も表せます。

I finally crossed the military demarcation.
（私はついに軍事境界線を超えた。）

病んでる を英語で教えて!

ill
病んでる

ill は「病気の」「病んでる」「不健康な」などの意味を表す形容詞ですが、肉体的な調子に対しても、精神的な調子に対しても、使われます。
※スラング的に「（ポジティブな意味の）やばい」「イケてる」などの意味で使われることもあります。

I'm ill lately. I have no motivation to do anything.
（最近、病んでる。何もやる気が起きない。）

sick
病んでる

sick も「病気の」「病んでる」などの意味を表す形容詞ですが、ill と比べると、症状が軽いニュアンスになります。

Just between you and me, there are many sick people in this industry.
（ここだけの話、この業界には病んでる人が多い。）