Ken

必要な道具をそろえる必要があるね を英語で教えて!

You have to prepare all the necessary tools.
必要な道具をそろえる必要があるね。

have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスのある表現になります。また、necessary は「必要な」「不可欠な」などの意味を表す形容詞です。

Before we go, we have to prepare all the necessary tools.
（行く前に、必要な道具をそろえる必要があるね。）

You need to prepare the essential tools.
必要な道具をそろえる必要があるね。

need to も「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、have to と比べると、主観的なニュアンスが強めの表現になります。また、essential も「必要な」「不可欠な」などの意味を表す形容詞ですが、必要度の度合いが necessary と比べて、高めなニュアンスです。

For now, you need to prepare the essential tools.
（とりあえず、必要な道具をそろえる必要があるね。）

もっと効率的に仕事を進なければいけない を英語で教えて!

I have to work more efficiently.
もっと効率的に仕事を進なければいけない。

have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスのある表現になります。また、efficiently は「効率的に」「能率的に」などの意味を表す副詞です。

I have a lot of business trips and am busy, so I have to work more efficiently.
（出張が多くて忙しいので、もっと効率的に仕事を進なければいけない。）

I need to work more efficiently.
もっと効率的に仕事を進なければいけない。

need to も「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、have to と比べると、主観的なニュアンスが強めの表現です。

It's not easy, but I need to work more efficiently.
（簡単ではないが、もっと効率的に仕事を進なければいけない。）

おすすめの業者を紹介してほしい を英語で教えて!

「おすすめの業者を紹介してほしい。」は、上記のように表現するとこができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表す表現です。
※ contractor は「業者」「請負業者」「委託業者」などの意味を表す名詞になります。

I'm thinking about renovating my house, so I would like you to tell me your recommended contractors.
（家のリフォームを考えているので、おすすめの業者を紹介してほしい。）

雰囲気の良いレストランを探してほしい を英語で教えて!

「雰囲気の良いレストランを探してほしい。」は、上記のように表現することができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、good は「良い」「上手い」「美味しい」などの意味を表す形容詞ですが、客観的なニュアンスがある表現になります。
※vibe は vibration（振動）を略したスラング表現ですが、「雰囲気」「感じ」などの意味で使われます。

I'm gonna go out to eat with friends, so I would like you to find a restaurant with good vibes.
（友達と食事に行くから、雰囲気の良いレストランを探してほしい。）
※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

睡眠の質を上げる方法を教えてほしい を英語で教えて!

「睡眠の質を上げる方法を教えてほしい。」は、上記のように表現することができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表す表現です。
※way は「道」という意味を表す名詞ですが、「方法」「手段」などの意味でも使えます。

I haven't been getting enough sleep lately, so I would like you to tell me the ways to improve the quality of my sleep
（最近睡眠不足なので、睡眠の質を上げる方法を教えてほしい。）