Ken

この本の貸出期限を延ばせますか？ を英語で教えて!

「この本の貸出期限を延ばせますか？」は、上記のように表現することができます。

can I 〜 ? は、カジュアルなニュアンスの「（私は）〜できますか？」「〜していいですか？」などの意味を表す表現になります。また、period は「期間」や「終止符」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に（口語として）「以上です」というような意味で使われることもあります。
※book は「本」「書籍」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「予約する」という意味も表現できます。

By the way, can I extend the lending period for this book?
（ちなみに、この本の貸出期限を延ばせますか？）
※by the way（ちなみに、ところで、そういえば、など）

近くに引っ越してきたから遊びに来てほしい を英語で教えて!

「近くに引っ越してきたから遊びに来てほしい。」は、上記のように表現することができます。

move は「移動する」「引っ越す」などの意味を表す動詞ですが、「感動させる」「心を動かす」などの意味も表せます。また、want to は、直接的なニュアンス（少し子供っぽいニュアンス）の「〜したい」という意味を表す表現になります。
※ come and visit は「遊びに行く」や「遊びに来て」などの意味で使われるフレーズです。

How are you? I've moved near you so I want you to come and visit.
（元気かい？近くに引っ越してきたから遊びに来てほしい。）

この漫画が来月映画化されるんだって を英語で教えて!

「この漫画が来月映画化されるんだって。」は、上記のように表現することができます。

it sounds like は「〜らしい」「〜みたい」などの意味を表す表現ですが、「耳で聞いた情報から出る感想」になります。また、cartoon は「漫画」「アニメ」などの意味を表す名詞ですが、「風刺画」という意味も表せます。
※ movie は「映画」という意味を表す名詞ですが、「娯楽映画」に対して使われる傾向がある表現になります。

Do you know? It sounds like this cartoon is being made into a movie next month.
（知ってる？この漫画が来月映画化されるんだって。）

この新しいゲームのルールが分からないんだ を英語で教えて!

「この新しいゲームのルールが分からないんだ。」は、上記のように表現することができます。

I don't know は「分からない」「知らない」などの意味を表す代表的な表現ですが、素っ気ないニュアンスもある表現なので、言い方や状況などによっては「知ったことじゃない」というようなニュアンスにもなります。また、rule は「ルール」「規則」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に、動詞として「最高」というような意味で使われることもあります。

I don't know the rules of this new game. What should I do?
（この新しいゲームのルールが分からないんだ。どうすればいいかな？）

従姉妹の結婚式 を英語で教えて!

cousin's wedding
従姉妹の結婚式

cousin は「いとこ」「親類」などの意味を表す名詞ですが、「仲間」という意味で使われることもあります。また、wedding は「結婚すること」「結婚式」などの意味を表す名詞です。

Excuse me, could you give me the day off to attend my cousin's wedding?
（すみません、いとこの結婚式に参加するので休みをください。）

cousin's marriage
従姉妹の結婚式

marriage は「結婚」という意味を表す名詞ですが、「結婚式」「結婚生活」などの意味も表せます。

I gave a speech at my cousin's marriage.
（従姉妹の結婚式で、スピーチをしました。）