Ken

このプロジェクトに参画した理由を教えてほしい を英語で教えて!

「このプロジェクトに参画した理由を教えてほしい。」は、上記のように表現することができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の方の「教える」を表す表現です。
※ project は「プロジェクト」「企画」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「計画する」「企画する」などの意味も表現できます。

For now, I would like you to tell me the reason we participated in this project.
（とりあえず、このプロジェクトに参画した理由を教えてほしい。）

家族でのアクティビティを提案してほしい を英語で教えて!

I would like you to suggest family activities.
家族でのアクティビティを提案してほしい。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、suggest は「提案する」「暗示する」などの意味を表す動詞です。

If possible, I would like you to suggest family activities.
（出来れば、家族でのアクティビティを提案してほしい。）

I want you to propose family activities.
家族でのアクティビティを提案してほしい。

want to は、直接的なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、propose も「提案する」という意味を表す動詞ですが、こちらは「結婚を申し込む」「プロポーズする」などの意味も表せます。

For now, I want you to propose family activities.
（とりあえず、家族でのアクティビティを提案してほしい。）

一緒にジムでトレーニングをしよう を英語で教えて!

「一緒にジムでトレーニングをしよう。」は、上記のように表現することができます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜しよう」「〜して」などのニュアンスでも使えます。また、work out は「運動する」「トレーニングする」などの意味を表す表現ですが、よく「筋トレする」という意味でも使われます。（「解決する」「何とかする」などの意味も表せます。）

We have a lack of exercise lately, so we should work out together at the gym.
（最近運動不足だから、一緒にジムでトレーニングをしよう。）

リラックスできる方法を教えてほしい を英語で教えて!

「リラックスできる方法を教えてほしい。」は、上記のように表現することができます。

would like to は、丁寧なニュアンスの「〜したい」という意味を表す表現になります。また、tell は「教える」という意味を表す動詞ですが、「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表す表現です。
※ chill は「冷たさ」「寒気」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に「リラックスする」「まったりする」などの意味を表せます。

I've gotten stressed at work, so I would like you to tell me tips on how to chill.
（仕事のストレスが溜まってきたので、リラックスできる方法を教えてほしい。）

作業に集中できる場所を探している を英語で教えて!

「作業に集中できる場所を探している。」は、上記のように表現することができます。

look for 〜 は「〜を探す」という意味を表す表現ですが、「〜を期待する」という意味でも使われます。また、place は「場所」という意味を表す名詞ですが、動詞として「置く」という意味も表せます。
※ focus は「照準を合わせる」という意味を表す動詞ですが、「集中する」という意味でよく使われます。

I like working in cafes, so I'm looking for a place where I can focus on my work.
（カフェで作業するのが好きなので、作業に集中できる場所を探しているんだ。）