Ken

お時間の許す限り、ゆっくりとご覧ください を英語で教えて!

「お時間の許す限り、ゆっくりとご覧ください」は、上記のように表せます。

would like you to 〜 : あなたに〜してほしい、〜してください
・助動詞 would（仮定法）を使うと「もし可能なら」というニュアンスになるので、似た表現の want you to ～と比べて、丁寧な表現になります。
（後ろには動詞の原形が続きます）

take one's time : ゆっくりやる、時間をかける
・直訳すると「自分の時間を取る」という意味になります。

look around : 見回す、見て回る、見渡す

as long as time permits : 時間の許す限り

例文
There is no problem at all. I would like you to take your time to look around it as long as time permits.
全く問題ございません。お時間の許す限り、ゆっくりとご覧ください。

※problem は「問題」「課題」といった意味の名詞ですが、「解決されるべきネガティブな問題」というようなニュアンスで使われます。
例）
There is a problem with my heart.
心臓が悪いんです。

こちらのパンツは、ストレッチが効いているので、とても動きやすいですよ を英語で教えて!

「こちらのパンツは、ストレッチが効いているので、とても動きやすいですよ」は、上記のように表せます。

pants : （ズボンという意味の）パンツ（名詞）
・足を通すところが二本あるので、常に複数形で表されます。
・イギリス英語では「（下着という意味の）パンツ」という意味になります。
（イギリス英語で「ズボン」は trousers と表現されます）

stretchy : ストレッチが効いている、伸縮性がある（形容詞）

easy to move in : 動きやすい
・easy to move in these pants を略しています。

例文
These pants are stretchy, so they're so easy to move in. I can recommend them.
こちらのパンツは、ストレッチが効いているので、とても動きやすいですよ。オススメです。

※recommend は「オススメする」「推奨する」といった意味を表す動詞になります。

この辺りの、ゴミ出しのルールを教えていただけますか？ を英語で教えて!

「この辺りの、ゴミ出しのルールを教えていただけますか？」は、上記のように表せます。

would you ～ ?：～してもらえますか？　～していただけますか？
・似た表現の could you 〜 ? が「可能かどうか」を尋ねるニュアンスなのに対して、こちらは「する意思があるかどうか」を尋ねるニュアンスになります。
例）
Would you wrap it?
包装してもらえますか？

tell：教える、伝える、言う（動詞）
・「知っていることを伝える」という意味の「教える」を表します。

dispose : 捨てる、処分する、処理する
・物理的な意味でも、抽象的な意味でも使われます。

garbage : ゴミ、生ゴミ、残飯（名詞）

例文
I'm sorry to bother you, but would you tell me the rules for disposing of garbage around here?
お手数ですが、この辺りの、ゴミ出しのルールを教えていただけますか？

※I'm sorry to bother you, but は「お手数ですが」「お手間をおかけしますが」といった意味で使われる定番の言い回しになります。
（bother は「悩ます」「困らせる」「迷惑をかける」といった意味の動詞になります）

風邪気味なので、保健室に行っても良いですか？ を英語で教えて!

「風邪気味なので、保健室に行っても良いですか？」は、上記のように表せます。

have a slight cold : 風邪気味である、ちょっと風邪を引いている
・cold は「寒い」「冷たい」といった意味の形容詞ですが、名詞として「風邪」という意味も表せます。

could I 〜 ?：～してもいいですか？　（私は）～できますか？
・丁寧なニュアンスの表現ですが、may I 〜 ? とすると、さらに丁寧さが増します。
例） May I see it?
拝見してもよろしいですか？

nurse's office : 保健室

例文
I have a slight cold, so could I go to the nurse's office? I would like to get some sleep.
風邪気味なので、保健室に行っても良いですか？少し寝たい。

※would like to ～は「～したい」という意味の表現で、助動詞 would（仮定法）を使うことで「もし可能なら」というニュアンスが加わるので、丁寧な表現になります。
（後ろには動詞の原形が続きます）

少し、考えさせてください を英語で教えて!

「少し、考えさせてください」は、上記のように表せます。

let : 〜させる（使役動詞）
・柔らかいニュアンスの表現になります。
・丁寧なニュアンスの please let me 〜 もよく使われます。

for a little while : 少しの間、しばらくの間
・a little は「少し」「ちょっと」といった意味の表現で「少しはある」というニュアンスで使われますが、a を抜いて little だけにすると「少ししかない」「ほとんどない」といったニュアンスになります。

例文
Let me think about it for a little while. I'm gonna reply to you next week.
少し、考えさせてください。来週お返事します。

※gonna は going to を略したスラング表現で、未来の行動を表す助動詞のような使われ方をしますが、前々から決めていたこと、その場で決めたこと、どちらの場合も使えます。
（カジュアルな場面に限らず頻繁に使われます）