Ken

大変、申し訳ありませんが、今回は辞退させていただきます を英語で教えて!

「大変、申し訳ありませんが、今回は辞退させていただきます。」は、上記のように表せます。

I'm very sorry, but : 大変申し訳ありませんが、大変、恐縮ですが
・very は「とても」「すごく」といった意味の副詞ですが、似た表現の so と比べて、固いニュアンスになります。

gonna : going to を略したスラング表現
・未来の行動を表す助動詞のような使われ方をしますが、前々から決めていたこと、その場で決めたこと、どちらの場合も使えます。
（カジュアルな場面に限らず頻繁に使われます）
例）
I'm gonna buy new one.
新しいのを買うつもりです。

decline : 減る、減少する、断る、辞退する（動詞）
・丁寧に何かをお断りする際に使われます。

例文
I'm very sorry, but I’m gonna decline this time. I would like to refrain from explaining the reason.
大変、申し訳ありませんが、今回は辞退させていただきます。理由を申し上げるのは差し控えたい。

※would like to ～は「～したい」という意味の表現で、助動詞 would（仮定法）を使うことで「もし可能なら」というニュアンスが加わるので、丁寧な表現になります。
（後ろには動詞の原形が続きます）

そこの大学の、学園祭っていつだっけ？ を英語で教えて!

「そこの大学の、学園祭っていつだっけ？」は、上記のように表せます。

when : いつ（疑問副詞）

campus festival : 学園祭、大学祭
・二つの名詞を組み合わせた複合名詞になります。
・festival は「祭り」「祝日」といった意味の名詞です。
例）film festival（映画祭）

university : 大学（名詞）
・「総合大学」というような「規模の大きな大学」というニュアンスがあり、似た表現の college の場合、「単科大学」というような「規模の小さな大学」というニュアンスがあります。

例文
When is the campus festival at that university? I'm interested in it.
そこの大学の、学園祭っていつだっけ？興味あるんだよね。

※be interested in 〜 で「〜に興味がある」「〜に関心がある」といった意味を表せます。

プレゼント用に、メッセージカードもお付けしますか？ を英語で教えて!

「プレゼント用に、メッセージカードもお付けしますか？」は、上記のように表せます。

would you like to 〜 ? : 〜したいですか？、〜なさいますか？
・助動詞 would（仮定法）を使うと「もし可能なら」というニュアンスになるので、似た表現の do you want to ～ ?と比べて、丁寧な表現になります。
（後ろには動詞の原形が続きます）

add : 加える、追加する、付ける（動詞）
・こちらを使った中国語由来のスラングで、add oil（油を加える）と言うと「頑張る」という意味を表せます。
中国語の加油（頑張る）を直訳したものです。

gift : プレゼント、ギフト、贈り物、才能（名詞）

例文
Would you like to add a message card as a gift? It’s gonna cost a little extra.
プレゼント用に、メッセージカードもお付けしますか？少し追加料金がかかりますが。

※gonna は going to を略したスラング表現で、未来の行動を表す助動詞のような使われ方をしますが、前々から決めていたこと、その場で決めたこと、どちらの場合も使えます。
（カジュアルな場面に限らず頻繁に使われます）

また何かございましたら、お気軽にお立ち寄りください を英語で教えて!

「また何かございましたら、お気軽にお立ち寄りください。」は、上記のように表せます。

there is（are） ～：～がある
・基本的に、聞き手にとって新しい情報を伝える際に使われる表現になります。
「どこかに～が存在する」という意味を表しますが、物理的な意味に限らず「予定がある」といった場合でも使えます。
例）
Still there is a chance.
まだ、チャンスはある。

ever : いつか、今までに（副詞）
・こちらを入れることで、丁寧なニュアンスを表せます。

anything : 何か、何でも（代名詞）
・疑問文や否定文で使われる傾向があります。

please feel free to 〜 : お気軽に〜してください、遠慮なく〜してください

drop by : 立ち寄る、顔を出す

例文
If there is ever anything, please feel free to drop by. We also have other items.
また何かございましたら、お気軽にお立ち寄りください。他にも商品はございますので。

※we は「私達」「我々」といった意味を表す代名詞ですが、ビジネスでは、よく「弊社」「当店」といった意味でも使われます。
例）
We are a ceramic manufacturer.
弊社は陶磁器メーカーでございます。

袋をお分けいたしますか？ を英語で教えて!

「袋を、お分けしますか？」は、上記のように表せます。

would you like to 〜 ? : 〜したいですか？、〜なさいますか？
・助動詞 would（仮定法）を使うと「もし可能なら」というニュアンスになるので、似た表現の do you want to ～ ? と比べて、丁寧な表現になります。
（後ろには動詞の原形が続きます）

bag : バッグ、カバン、袋（名詞）

separated : 別れた、分離した、離婚した（形容詞）
・物理的な意味でも、人間関係的な意味でも使われます。

例文
Would you like to have the bags separated? Please feel free to tell me.
袋を、お分けしますか？ご遠慮なく言ってください。

※please は「〜してください」という意味の丁寧な表現ですが、命令形のニュアンスも含まれるので、少し上から目線な感じが出ます。
（明らかに目上の方に対しては could you 〜 ? などを使った方が無難です）