Ken

腕を磨く を英語で教えて!

「腕を磨く」は、上記のように表現することができます。

improve は「改善する」「向上させる」などの意味を表す動詞になります。また、skill は「技術」「技能」「能力」などの意味を表す名詞ですが、「（訓練などによって身に付ける）能力」というニュアンスのある表現です。
※ちなみに ability も「能力」という意味を表す名詞ですが、こちらは「その人に元々備わっている能力」というニュアンスの表現になります。

Anyway, I wanna go abroad to improve my skills.
（とにかく、腕を磨く為に海外に行きたいんです。）
※wanna は want to を略したスラング表現になります。

お客様にお茶をお出ししてください を英語で教えて!

「お客様にお茶をお出ししてください。」は、上記のように表現することができます。

could you 〜 ? は、丁寧なニュアンスの「〜してください」「〜してくれますか？」などの意味を表す表現になります。また、serve は「給仕する」「（食事や飲み物などを）出す」などの意味を表す動詞ですが、「仕える」「奉仕する」などの意味も表せます。
client は「お客様」「顧客」などの意味を表す名詞ですが、「得意先」というような「長期的な関係を持っているお客様」に対して使われる傾向があります。
※ちなみに tea は、基本的に「紅茶」のことを表す名詞なので、「緑茶」のことを表す場合は green tea と表現します。

I’m sorry to bother you, but could you serve tea to the client?
（お手数ですが、お客様にお茶をお出ししてください。）

留守番電話 を英語で教えて!

「留守番電話」は、上記のように表現することができます。

answer は「答え」「解答」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「答える」「応答する」「電話に出る」などの意味も表せます。また、machine は「機械」「マシーン」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「機械で作る」「回転する」などの意味も表現できます。
※machine は、スラング的に「感情の浮き沈みのない人」「（褒め言葉的に）プレッシャーに強い人」などの意味で使われることもあります。

If I don't answer the phone, could you leave a message on the answering machine?
（電話に出なかったら留守番電話に連絡を残してください）
※ leave は「離れる」「出発する」などの意味を表す動詞ですが、「（物や連絡などを）残す」という意味も表現できます。

留年するかも を英語で教えて!

「留年するかも」は、上記のように表現することができます。

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、よく「たぶん」「〜かも」といった意味でも使われます。また、gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
repeat a year（一年繰り返す）で「留年する」という意味を表現できます。

You haven't attended enough days. If you continue like this, I think you are gonna repeat the year.
（君は出席日数が足りないね。このまま行くと留年するかも知れない。）

老後の生活 を英語で教えて!

1. life after retirement
老後の生活

life は「生活」「暮らし」などの意味を表す名詞ですが、「生命」「人生」などの意味も表せます。また、retirement は「退職」「引退」などの意味を表す名詞です。

Lately I've been thinking often about life after retirement.
（老後の生活について、最近よく考える。）

2. retirement life
老後の生活

retirement は「退職後の期間」「老後」などの意味で使われることも。

I save money for my retirement life.
（老後の生活の為に、お金を貯めています。）