Ken

とにかく彼に謝らなければならない を英語で教えて!

「とにかく彼に謝らなければならない」は、上記のように表せます。

anyway は「とにかく」「どのみち」「少なくとも」などの意味を表す副詞になります。
have to は「〜しなければならない」「〜する必要がある」などの意味を表す表現ですが、客観的なニュアンスのある表現になります。
apologize は「謝る」「謝罪する」などの意味を表す動詞ですが、イギリス英語では apologise と綴られます。

Anyway, I have to apologize to him. We should talk only after that.
とにかく彼に謝らなければならない。話はそれからだ。

※ We should talk only after that. で「その後に話そう。」「話はそれからだ。」などの意味を表現できます。

参加すると思うけど、まだわからない を英語で教えて!

「参加すると思うけど、まだわからない」は、上記のように表せます。

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、「たぶん」「〜かも」などのニュアンスを表すために使うこともできます。
gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
I don’t know は「知らない」「わからない」などの意味を表す代表的な表現ですが、少し素っ気ないニュアンスがある表現なので、言い方や状況によっては「知ったことじゃない」というニュアンスにもなります。
（I'm not sure と言うと柔らかいニュアンスの「わからない」を表せます）

例文
I think I'm gonna join it, but I don’t know yet. I'm gonna call you tomorrow.
参加すると思うけど、まだわからない。明日連絡するよ。

※ call は「電話する」という意味でよく使われますが、「連絡する」「呼ぶ」などの意味も表せる動詞です。

家でリラックスしながら過ごす を英語で教えて!

1. I relax at home.
家でリラックスしながら過ごす。

relax は「リラックスする」「リラックスして過ごす」「寛ぐ」などの意味を表す動詞になります。
home は「家」「自宅」などの意味を表す名詞ですが、「帰るべき場所」というようなニュアンスのある表現で「故郷」という意味でも使えます。

例文
If I don't have my business, I relax at home.
用事がなければ、家でリラックスしながら過ごすよ。

※ business は「仕事」「事業」「商売」などの意味を表す名詞ですが、「私事」「用事」「やるべきこと」などの意味で使われることもあります。
（biz と略されることもあります）

2. I chill at home.
家でリラックスしながら過ごす。

chill は「冷たさ」「寒さ」などの意味を表す名詞ですが、スラング的に「ダラダラする」「リラックスして過ごす」などの意味で使われます。

例文
Basically, I chill at home on weekends.
基本的に週末は、家でリラックスしながら過ごすんだ。

しっかり朝ご飯を食べて を英語で教えて!

「しっかり朝ご飯を食べて」は、上記のように表せます。

eat は「食べる」という意味を表す動詞ですが、スラング的に「イライラさせる」「悩ませる」などの意味も表せます。
breakfast は「朝食」「朝ご飯」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「朝食を取る」「朝ご飯を食べる」などの意味も表せます。
（スラング的に brekkie と略されることもあります）
firmly は「しっかり」「ちゃんと」などの意味を表す副詞です。

例文
I don't think it’s good. Eat a breakfast firmly.
それは良くないと思う。しっかり朝ご飯を食べて。

※英語の持つ特徴の一つなのですが、「〜でないと思う」と言う時、I think + 否定文 という形より、I don't think + 肯定文 という形がよく使われます。

貸してくれると思うよ を英語で教えて!

「貸してくれると思うよ」は、上記のように表せます。

I think は「私は思う」という意味を表す表現ですが、「たぶん」「〜かも」といったニュアンスを表すために使うこともできます。
gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
lend は「貸す」「貸し付ける」などの意味を表す動詞ですが、「貢献する」という意味で使われることもあります。

例文
I think they're gonna lend you an umbrella. You should try asking.
傘を貸してくれると思うよ。聞いてみなよ。

※should は「〜した方がいい」「〜するべき」「〜なはず」などの意味を表す助動詞ですが、カジュアルに「〜して」「〜しなよ」などのニュアンスでも使えます。