Ken

彼はどんなことでも真剣に取り組む を英語で教えて!

「彼はどんなことでも真剣に取り組む」は、上記のように表せます。

take は「取る」「つかむ」「選ぶ」「（薬を）飲む」など、いろいろな意味を表せる動詞ですが、「取り組む」という意味も表せます。
seriously は「真剣に」「真面目に」や「深刻に」などの意味を表す副詞です。
no matter what は「どんなことでも」「何が起きても」などの意味を表す表現になります。

He takes seriously no matter what. I would like him on the project team.
彼はどんなことでも真剣に取り組む。彼をプロジェクトチームに入れたい。

※would like は、丁寧なニュアンスの「ほしい」という意味を表す表現になります。

彼は新しい職場に慣れるのに苦労している を英語で教えて!

「彼は新しい職場に慣れるのに苦労している」は、上記のように表せます。

hard は「硬い」という意味を表す形容詞ですが、「大変な」「きつい」「難しい」などの意味も表せるので、have a hard time で「大変な時間を過ごしている」「苦労している」などの意味を表せます。
get used to 〜 は「〜に慣れる」「〜に馴染む」なとの意味を表す表現になります。
（get は「手に入れる」「到着する」などの意味を表す動詞ですが「〜になる」「〜に変わる」などの意味も表現できます）

It's too early. He has a hard time getting used to his new workplace.
早過ぎるよ。彼は新しい職場に慣れるのに苦労している。

面白い提案を持ち込んだ を英語で教えて!

「面白い提案を持ち込んだ」は、上記のように表せます。

bring（brought は bring の過去形、過去分詞形）は「持ってくる」「持ち込む」「連れてくる」などの意味を表す動詞になります。
※ちなみに brought を使ったイディオムで What brought you here?（何があなたをここに連れてきたの？）と言うと「なぜここに来たの？」「ここに来た目的は？」などの意味を表せます。
interesting は「興味深い」という意味の「面白い」を表す形容詞になります。

You brought an interesting proposal. I would like to try it by all means.
面白い提案を持ち込んだね。是非やりたいな。

※ by all means は「あらゆる手段で」という意味を表す表現ですが、「是非」「是が非でも」などのニュアンスでも使えます。

バカみたいなことをしている を英語で教えて!

「バカみたいなことをしている」は、上記のように表せます。

thing は「こと」「もの」「物事」などの意味を表す名詞ですが「得意なこと」「趣味」などの意味で使われることもあります。
like は「好き」「好む」などの意味を表す動詞ですが、前置詞として「〜みたい」「〜のような」などの意味も表せます。
fool は「馬鹿」「愚か者」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「馬鹿にする」「ふざける」などの意味も表せます。

Oh my goodness. I'm doing a thing like a fool.
なんてことだ。バカみたいなことをしている。

※ oh my goodness は oh my god から派生した「なんてことだ」「信じられない」などの意味を表す表現になります。
英語圏には god（神）という言葉を軽々しく使いたくない方々も多いので、よく使われます。

真剣に話しているときに笑うわけにはいかない を英語で教えて!

「真剣に話しているときに笑うわけにはいかない」は、上記のように表せます。

can't afford to 〜 は「〜する余裕がない」という意味を表す表現ですが、「〜するわけにはいかない」というニュアンスも表せます。
laugh は「笑う」という意味を表す動詞ですが「声を出して笑う」という意味を表す表現になります。
talk は「話す」という意味を表す動詞ですが「複数人で話し合う」という意味の「話す」を表す表現です。

Everyone is serious. I can't afford to laugh when they're talking seriously.
みんな真剣なんだ。真剣に話しているときに笑うわけにはいかない。