Ken

そのうち、真実が明らかになるはずだ を英語で教えて!

「そのうち、真実が明らかになるはずだ。」は、上記のように表せます。

should は「〜した方がいい」「〜するべき」などの意味を表す助動詞ですが「〜なはず」という意味も表せます。
become は「〜になる」という意味を表す動詞ですが、「〜になって、その状態を維持する」というニュアンスのある表現になります。
soon は「すぐに」という意味を表す副詞ですが、幅のある表現で、「そのうち」「近いうち」などの意味でも使われます。

例文
I don't know what you're hiding, but the truth should become clear soon.
何を隠しているかは知らないが、そのうち、真実が明らかになるはずだ。

※I don't know は「知らない」「わからない」などの意味を表す表現ですが、少し素っ気ないニュアンスもある表現なので、言い方や状況などによっては、「知ったことじゃない」というような感じにもなります。

すぐ書くね を英語で教えて!

「すぐ書くね。」は、上記のように表せます。

gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。
write は「書く」という意味を表す動詞ですが「執筆する」「作曲する」などの意味も表せます。
immediately は「すぐに」「即座に」などの意味を表す副詞ですが、急ぎのニュアンスが強めの表現になります。

例文
There is no problem. I'm gonna write it immediately.
何の問題もないよ。すぐ書くね。

※there is no 〜 とすると、there is not 〜 とするより、「ない」ということを強調したニュアンスにできます。

このプロジェクトの責任者です を英語で教えて!

「私がこのプロジェクトの責任者です。」は、上記のように表せます。

person in charge は「担当者」「責任者」などの意味を表す表現になります。
project は「プロジェクト」「計画」「企画」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「計画する」「企画する」などの意味も表せます。

例文
I’m the person in charge of this project. I’m gonna explain it in detail from now.
私がこのプロジェクトの責任者です。これから詳しく説明いたします。

※gonna は going to を略したスラング表現ですが、カジュアルな場面に限らず、頻繁に使われます。

いつ修理が終わりますか？ を英語で教えて!

「いつ修理が終わりますか？ 」は、上記のように表せます。

when will it be + 過去分詞 ? で「いつ〜されますか？」という意味を表せます。
repair は「修理」「修繕」などの意味を表す名詞ですが、動詞として「修理する」「修繕する」などの意味も表せます。
（専門的なニュアンスのある表現です）
complete は「終わる」「完了する」などの意味を表す動詞ですが、形容詞として「完全な」「完了した」などの意味も表現できます。

例文
Just to confirm, when will the repair be completed?
確認ですが、いつ修理が終わりますか？

※just to confirm は「確認ですが」「念のため確認しますが」などの意味を表す表現になります。

だんだん景色がきれいになっていく を英語で教えて!

「だんだん景色がきれいになっていく。」は、上記のように表せます。

scenery は「景色」「景観」「風景」などの意味を表す名詞ですが、「美しい自然の風景」というニュアンスのある表現になります。
get は「手に入れる」「到着する」などの意味を表す動詞ですが、「〜になる」「〜に変わる」などの意味でもよく使われます。
gradually は「だんだん」「徐々に」などの意味を表す副詞になります。

例文
As you climb the mountain, the scenery is getting more beautiful gradually.
山に登ると、だんだん景色がきれいになっていく。